攀枝花市第十五中学校2019-2020（上）高2020届第五次周考数 学（文史类）命题人：朱勇军 审题人：任柏宇2019.10.14（时间：120分钟 满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知2a ii+=b +i （,a b R ∈），其中i 为虚数单位，则ab =（ ） A.2- B.1- C.1 D.22．已知集合{}2560A x x x =-+<，{}xB y y e ==，则A B =（ ）A ．()1,3-B ．()1,0-C ．()0,2D ．()2,33．设函数()()()11f x ln x ln x =+-+，则()f x 是（ ）A ．()f x 是奇函数，且在()0,1上是增函数B ．()f x 是奇函数，且在()0,1上是减函数C ．()f x 是偶函数，且在()0,1上是增函数D ．()f x 是偶函数，且在()0,1上是减函数4．已知向量|a b +|=||a b -，且||||2a b ==,则|2|a b -=（ ） A. 25B.2C. 22D.105．设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1S 、2a 、3S 成等比数列，则31a a 的值为（ ） A.1- B.1 C. 5 D.1-或56．在下面四个[,]x ππ∈-的函数图象中，函数sin 2y x x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，主要方式是由十天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）和十二地支（子、 丑、 寅 、卯、 辰、 巳、 午、 未 、申 、酉、 戌、 亥）按顺序配对，周而复始，循环记录．如：1984年是甲子年，1985年是乙丑年，1994年是甲戌年，则数学王子高斯出生的1777年是干支纪年法中的（ ） A ．丁申年 B ．丙寅年 C ．丁酉年 D ．戊辰年8．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是（ ） A ．3- B ．12- C ．13D ．29．若ln3a 2=，ln4b 3=，ln5c 4=，则( ) A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b a c <<10．已知函数：①sin cos y x x =+，②22sin cos y x x =，则下列结论正确的是 （ ）A ．两个函数的图像均关于点,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称B ．两函数的图像均关于直线4πx =-对称 C ．两个函数在区间 ,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上都是单调递增函数D ．可以将函数②的图像向左平移4π个单位得到函数①的图像 11．已知点O 是ABC ∆的外接圆圆心, 3,4AB AC ==.若存在非零实数,x y 使得AO x AB y AC =+且21x y +=,则cos BAC ∠的值为 （ ）A.13B.3D.2312．已知函数3211()32x f x xe ax ax =--有三个极值点，则a 的取值范围是（ ）A ．()0,eB ．(0, 1e )C ．()e,+∞D ．(1e，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．sin 585︒的值为__________．14．已知数列{}n a 的前n 项和223n S n n =-，则数列{}n a 的通项公式是_________． 15．设函数()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数，当[0,1]x ∈时，()1f x x =+，则3()2f =_______________．16．若1x 是方程4x xe =的解，2x 是方程ln 4x x =的解，则12x x ⋅等于_________．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）设{}n a 是等差数列，且1ln 2a =，235ln 2a a += （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求12n a a a e e e ++，（其中ln (0)Ne N N =>）18．（本小题满分12分）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边()()3a b c a b c ab +++-=. （Ⅰ）求角C 的值；（Ⅱ）若2c =，且ABC ∆为锐角三角形，求2a b -的范围.19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，060DAB ∠=，PD ⊥平面ABCD ，1PD AD ==，点E 为PD 中点，点F 为AB 上一点，且//AE 平面PFC .（Ⅰ）确定点F 的位置，并说明理由； （Ⅱ）求证：CD ⊥平面PDF ； （Ⅲ）求三棱锥P CEF -的体积.20．（本小题满分12分）如图，曲线C 由上半椭圆22122:1(0,0)y x C a b y a b+=>>≥和部分抛物线22:1(0)C y x y =-+≤连接而成，12,C C 的公共点为,A B ，其中1C 的离心率为32． （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）过点B 的直线l 与12,C C 分别交于,P Q （均异于点,A B ），若AP AQ ⊥，求直线l 的方程．21．（本小题满分12分）已知函数()(1ln )f x x x =+.（Ⅰ）求)(x f 的图象在点x e =（e 为自然对数的底数）处的切线方程；F ABCDEP（Ⅱ）若k Z ∈，且()1)(->x k x f 对任意1x >恒成立，求k 的最大值；请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．22．在极坐标系中,O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4cos C ρθ=上，直线l 过点(0,4)A 且与OM 垂直，垂足为P 。

（Ⅰ）当04θπ=时，求0ρ及l 的极坐标方程 （Ⅱ）当M 在C 上运动且点P 在线段OM 上时，求点P 的轨迹的极坐标方程23．已知函数()1||2f x x x a -=-+，0a > （Ⅰ）若1a =时，求不等式()1f x >的解集；（Ⅱ）若()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积小于6，求a 的取值范围．攀枝花市第十五中学校2019-2020（上）高2020届第五次周考数 学（文史类）一、 选择题 1-5 ADDAC 6-10 CCBBC 11-12 DC二、填空题13.2-14.45n a n =- 315.216.4三、解答题17．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d .因为235ln 2a a +=，所以1235ln 2a d +=. 又1ln 2a =，所以ln 2d =.所以1(1)ln 2n a a n d n =+-=.（Ⅱ）因为1ln 22a e e ==，11ln 22n n n n a a aa e e e e---===，所以{}n a e 是首项为2，公比为2的等比数列．所以1211222212nna a a n e e e +-++⋯+=⨯=--.18．解：（Ⅰ）由题意知()()3a b c a b c ab +++-=，∴222a b c ab +-=，由余弦定理可知，222cos 122a b c C ab +-==，又∵(0,)C π∈，∴3C π=.（Ⅱ）由正弦定理可知，2sin sin sin 3a b A Bπ===，即,a A b B ==，∴2a b A B -=2sin()3A A π=-2cos 33A A A =--12cos 4(cos )4sin()3226A A A A A π=-=-=-， 又∵ABC ∆为锐角三角形，∴022032A B A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，则62A ππ<<即0A 63ππ<-<，所以，0sin()6A π<-<即04sin(-)6A π<<，综上2a b -的取值范围为(0,.19．（Ⅰ）解：取PC 中点G ，连接EG 、FG∵点E 为PD 中点， ∴//EG CD 且12EG CD =∵底面ABCD 是菱形，//AB CD ∴//EG AB 且12EG AB =∵//AE 平面PFC ，AE ⊂平面AEGF ，平面PFC 平面AEGF GF = ∴//AE GF ，从而四边形AEGF 为平行四边形∴12AF EG AB ==，即点F 为AB 中点F ABCDEP G（Ⅱ）证明：∵底面ABCD 是菱形，060DAB ∠=， ∴CD DF ⊥， 又CD PD ⊥，PD DF D =，PD ⊂平面PDF ，DF ⊂平面PDF ∴CD ⊥平面PDF . ………………8分（Ⅲ）解法一：111332P CEF P CDF E CDF CDF V V V S PE ---∆=-=⋅==解法二：11133P CEF C PEFPEF V V S CD --∆==⋅==20．解：（Ⅰ）在1C ，2C 方程中，令0y =，可得b=1,且得(1,0),(1,0)A B -是上半椭圆1C 的左右顶点，设1C 的半焦距为c ，由2c a =及2221a c b -==，解得2a =，所以2a =，1b =（Ⅱ）由（Ⅰ）知，上半椭圆1C 的方程为221(0)4y x y +=≥，易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为(1)(0)y k x k =-≠代入1C 的方程中，整理得：2222(4)240k x k x k +-+-= 设点P 的坐标(,)P P x y ，由韦达定理得2224P B k x x k +=+，又(1,0)B ，得2244P k x k -=+，从而求得284P ky k -=+，所以点P 的坐标为22248(,)44k k k k --++． 同理，由2(1)(0)1(0)y k x k y x y =-≠⎧⎨=-+≤⎩得点Q 的坐标为2(1,2)k k k ---- 22(,4)4kAP k k ∴=+，(1,2)AQ k k =-+AP AQ ⊥，0AP AQ ∴⋅=,即222[4(2)]04k k k k --+=+ 0k ≠，4(2)0k k ∴-+=，解得83k =-经检验，83k =-符合题意，故直线l 的方程为8(1)3y x =--21．解：（Ⅰ）因为())ln 1(x x x f +=，所以()2ln f x x '=+,()3f e '=,()e e f 2=所以)(x f 在点x e =（e 为自然对数的底数）处的切线方程为.03=--e y x （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()ln f x x x x =+，()1)(->x k x f 对任意1x >恒成立⇔()1f x k x <-对任意1x >恒成立，即ln 1x x xk x +<-对任意1x >恒成立．令()ln 1x x x g x x +=-，则()()2ln 21x x g x x --'=-， 令()ln 2h x x x =--()1x >，则()1110x h x x x-'=-=>，故函数()h x 在()1,+∞上单调递增．因为()()31ln30,422ln 20h h =-<=->，所以方程()0h x =在()1,+∞上存在唯一实根0x ，且满足()03,4x ∈． 当01()0x x h x <<<时，，即()0g x '<，当0()0x x h x >>时，，即()0g x '>， 所以函数()ln 1x x xg x x +=-在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增． 故()()()()()000000min 001ln 123,411x x x x g x g x x x x ++-====∈⎡⎤⎣⎦--．所以()()0min 3,4k g x x <=∈⎡⎤⎣⎦，故整数k 的最大值是3． 22.解(1)当04θπ=时，004cos ρθ== 以O 为原点，极轴为x 轴建立直角坐标系，在直角坐标系中有(2,2)M ，(0,4)A ，1OM k =，则直线l 的斜率1k =-由点斜式可得直线l ：4y x =-+，化成极坐标方程为(sin cos )4ρθθ+=； (2)∵l OM ⊥∴2OPA π∠=，则P 点的轨迹为以OA 为直径的圆此时圆的直角坐标方程为22(2)4x y +-=化成极坐标方程为1:4sin C ρθ=，又P 在线段OM 上，由4sin 4cos ρθρθ=⎧⎨=⎩可得4πθ=，∴P 点轨迹的极坐标方程为1:4sin (0,4C πρθθ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦）.23.解：（1）当1a =时，()1f x >，化为：|1|2|1|10x x --+->，①， 当1x ≤-时，①式化为：20x +>，解得：21x -≤＜-， 当11x -<<时，①式化为：320x -->，解得213x -<<-， 当1x ≥时，①式化为：40x -->，无解， ∴()1f x >的解集是2|23x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭； （2）由题设可得：21,()312,112,1x a x a f x x a a x x a x ++<-⎧⎪=-+--≤≤⎨⎪--->⎩∴函数()f x 的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为：,(20)1A a --，,()1B a a +-，12,03a C -⎛⎫⎪⎝⎭，∴21442(1)(1)233ABC a S a a +=⨯⨯+=+△，由题设可得：22(1)63a +<，解得：02a <<，故a 的范围是()0,2．。