第二章 函数与导数第1课时 函数及其表示
1. 下列对应f 是从集合A 到集合B 的函数有________个． ① A ＝N ，B ＝N *，f ：x →y ＝|x －2|；
② A ＝{1，2，3}，B ＝R ，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4； ③ A ＝[－1，1]，B ＝{0}，f ：x →y ＝0. 答案：2
2. 已知函数y ＝f(x)，集合A ＝{(x ，y)|y ＝f(x)}，B ＝{(x ，y)|x ＝a ，y ∈R }，其中a 为常数，则集合A ∩B 的元素有________个．
答案：0或1
解析：设函数y ＝f(x)的定义域为D ，则当a ∈D 时，A ∩B 中恰有1个元素；当a ÎD 时，A ∩B 中没有元素．
3. 若f(x ＋1)＝x ＋1，则f(x)＝___________． 答案：x 2－2x ＋2(x ≥1)
解析：令t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2，所以f(t)＝(t －1)2＋1.
4. 已知函数φ(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x 的正比例函数，g(x)是x 的反比例函数，且φ⎝⎛⎭⎫13＝16，φ(1)＝8，则φ(x)＝________．
答案：3x ＋5
x
(x ≠0)
解析：由题可设φ(x)＝ax ＋b
x
，代入φ⎝⎛⎭⎫13＝16，φ(1)＝8，得a ＝3，b ＝5. 5. 已知函数f(x)＝3x －1，g(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≥0，2－x ，x<0.若x ≥1
3，则g(f(x))＝________．
答案：9x 2－6x
解析：当x ≥1
3
时，f ()x ≥0，所以g(f(x))＝(3x －1)2－1＝9x 2－6x.
6. 工厂生产某种产品，次品率p 与日产量x(万件)间的关系为p ＝⎩
⎨⎧
1
6－x
，0<x ≤c ，2
3
，x>c (c
为常数，且0<c<6)．已知每生产1件合格产品盈利3元，每出现1件次品亏损1.5元．若将日盈利y(万元)表示为日产量x(万件)的函数关系，其关系式为________________．
答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3（9x －2x 2）2（6－x ），0<x ≤c
0，x>c
解析：当x>c 时，p ＝23，所以y ＝⎝⎛⎭⎫1－23·x ·3－23·x ·32＝0；当0<x ≤c 时，p ＝1
6－x
，所以y ＝⎝⎛⎭⎫1－16－x ·x ·3－16－x ·x ·32＝3（9x －2x 2
）2（6－x ）
.
7. 已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝
1－x 21＋x 2
，则f(x)的解析式为____________． 答案：f(x)＝2x
x 2＋1
8. 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x （x ≥0），
－x 2－4x （x<0）.
若f(x)≤3，则x 的取值范围是________．
答案：[－1，9]∪(－∞，－3]
解析：f(x)≤3等价于⎩
⎨⎧x ≥0，x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧
x<0，－x 2
－4x ≤3，解得0≤x ≤9或－1≤x ＜0或x ≤－3，即－1≤x ≤9或x ≤－3.
9. (1) 已知f(x)是二次函数，且方程f(x)＋3x ＝0有两根0和1.若f(x ＋4)＝f(－x)，求f(x)； (2) 设f(x)是定义在实数集R 上的函数，满足f(0)＝1，且对任意实数a 、b ，有f(a －b)＝f(a)－b(2a －b ＋1)，求f(x)．
解：(1) 设f(x)＋3x ＝ax(x －1)(a ≠0)，即f(x)＝ax 2－(a ＋3)x ，由f(x ＋4)＝f(－x)，得f(x)
的图象关于x ＝2对称，所以a ＋3
2a
＝2，解得a ＝1，所以f(x)＝x 2－4x.
(2) 令a ＝b ＝x ，则f(x －x)＝f(x)－x(2x －x ＋1)，即f(0)＝f(x)－x 2－x.由于f(0)＝1，所以f(x)＝x 2＋x ＋1.
10. 已知函数f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，
1，x<0，g(x)＝x ＋2.
(1) 若f(g(a))＝g(f(－1)，求a 的值； (2) 解不等式f(1－x 2)>f(2x)．
解：(1) 由条件，g(f(－1))＝3，g(a)＝a ＋2， 所以f(g(a))＝g(f(－1))即为f(a ＋2)＝3.
当a ＋2≥0，即a ≥－2时，(a ＋2)2＋1＝3，
所以a ＝－2＋2；当a ＋2<0，即a<－2时，显然不成立， 所以a ＝－2＋ 2.
(2) 由f(1－x 2
)>f(2x)，知⎩
⎪⎨⎪⎧1－x 2
>0，1－x 2
>2x ， 解得－1<x<2－1.
所以不等式的解集为(－1，2－1)．
11. 是否存在正整数a 、b ，使f(x)＝x 2ax －2
，且满足f(b)＝b 及f(－b)<－1
b ？若存在，求
出a 、b 的值；若不存在，说明理由．
解：假设存在正整数a 、b 满足题意．
∵ f(x)＝x 2ax －2，f(b)＝b ，∴ b 2
ab －2
＝b ，即(a －1)b ＝2.
∵ a 、b ∈N *，∴ ⎩⎪⎨⎪
⎧a ＝3，b ＝1或⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.
当a ＝3，b ＝1时，f(x)＝x 23x －2
，此时－b ＝－1，∴ f(－b)＝f(－1)＝－15>－1＝－1
b ，因
此a ＝3，b ＝1不符合题意，舍去；
当a ＝2，b ＝2时，f(x)＝x 22x －2
，此时－b ＝－2，∴ f(－b)＝f(－2)＝－23<－12＝－1
b ，符
合题意．
∴ 存在a ＝2，b ＝2满足条件使f(x)＝x 2
2x －2
.。