全国高考理科数学模拟题注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、学校、座位号、考生号填写在答题卡上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1.已知集合2|2A x x x ， |12B x x ，则 A ． B AB ．R B AC ．A BD ．B A2.已知z 是复数z 的共轭复数，若1z i ，则复数2z z对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.若两个非零向量,a b 满足||2||2b a ，|2|3a b ，则,a b 的夹角是A ．6 B ．3 C ．2D．4.记n S 为等差数列 n a 的前n 项和，555215,18S a S S ，则 343a a 的值为A ．21B ．24C ．27D ．305.执行右图的程序框图，如果输入的1a ，2b ，则输出的nA ．10B ．11C ．12D ．136.已知命题:p 关于x 的方程210x ax 没有实根；命题:q 0,20 x x a ．若“p ”和“p q ”都是假命题，则实数a 的取值范围是 第5题图 A ．(,2)(1,) B ．(2,1] C ．(1,2) D. (1,) 7.某电商设计了一种红包，打开每个红包都会获得三种福卡(“和谐”、“爱国”、“敬业”)中的一种，若集齐三种卡片可获得奖励，小明现在有4个此类红包，则他获奖的概率为A ．38B ．58C ．49D ．798.将偶函数2cos 20f x x x 的图像向右平移 个单位得到函数()g x 的图像，则()g x 在,46上的最小值是A ．－2B ．－1 CD ．－129.某多面体的三视图如图所示，则该多面体的各个三角形 面中，最大面积为 A．B ．16C ．D ．10.，它的底面圆周和顶点都在 一个表面积为 的球面上，则该圆锥的体积为 第9题图A ．3128 B ．364C D ．33211.已知函数,0(),0x x xe x f x x x e，则不等式(2)f x e 的解集为A ．(,1)B ．(1,1)C ．(1,3)D ．(1,)12.已知函数ln ()xf x mx x有两个零点，则实数m 的取值范围是 A ．1(0,2e B ．1(0,)e C ．1(,)2eD ．1(,)e第Ⅱ卷(共90分)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知实数,x y 满足211y xx y x y，则目标函数2z x y 的最大值为___________ .14.26(1)(1)x x 展开式中，含3x 项的系数是 ．(用数字填写答案)15.数列 n a 中，*111,2(,0)n n n a a a n N ，其中 满足：对于任意的*k N ，均有21221,,k k k a a a 成等差．数列 n a 的前20项和20S ． 16.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑A BCD 中，AB 平面BCD ，且有,BD CD 2,1AB BD CD ，点P 是AC 上的一个动点，则三角形PBD 的面积的最小值为 ．第16题图 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. (本小题满分12分)ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知23,2a b A B .(1)求cos A ；(2)若ABC 的面积为157，求b .18. (本小题满分12分)某大型企业为鼓励员工多利用网络进行营销，准备为员工办理手机流量套餐.为了解员工 手机流量使用情况，通过抽样，得到100位员工每人手机月平均使用流量L(单位：M)的数据，其频率分布直方图如右：将频率视为概率，回答以下问题：(1)从该企业的员工中随机抽取3人，求这3人中至多有1人手机月流量不超过900M 的概率；(2)据了解，某网络营运商推出两款流量套餐，详情如下：套餐名称月套餐费(单位：元)月套餐流量(单位：M)A 20 700 B301000流量套餐的规则是：每月1日收取套餐费.如果手机实际使用流量超出套餐流量，则需要购买流量叠加包，每一个叠加包(包含200M 的流量)需要10元，可以多次购买；如果当月流量有剩余，将会被清零.该企业准备为所有员工订购其中一款流量套餐，并支付所有费用.请分别计算两种套餐所需费用的数学期望，并判断该企业订购哪一款套餐更经济？19. (本小题满分12分)如图，三棱柱111ABC A B C 中，侧面11BB C C 是菱形，其对角线的交点为O ，且1AB AC ，1AB B C ．(1)求证：AO 平面11BB C C ；(2)设160B BC ，若直线11A B 与平面11BB C C 所成的0.0008 频率组距 5006007008009001000 流量L /M0.0002a0.0025 0.0035 1100角为45 ，求二面角11A B C A 的大小. 第19题图 20. (本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b，短轴长为,A B ，点M 是椭圆上异于,A B 的任意一点，记直线,MA MB 的斜率分别为,MA MB k k .(1)求椭圆C 的方程，并证明：MA MB k k 是定值；(2)设点N 是椭圆C 上另一个异于,,M A B 的点，且满足直线NB 的斜率等于2MA k ，试探究：直线MN 是否经过定点？如果是，求出该定点，如果不是，请说明理由.21. (本小题满分12分)已知函数2()x f x e ax . (1)讨论()f x 的单调性；(2)当0x 时，2()1f x ax ，求a 的取值范围.请考生在第22，23题中任选一题作答．作答时一定要用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑(都没涂黑的视为选做第22题)．22. (本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为4cos ，直线l 的极坐标方程为cos()4.(1)求曲线1C 和直线l 的交点的极坐标；(2)已知P 为曲线22cos :sin x C y( 为参数)上的一动点，设直线l 与曲线1C 的交点为,A B ，求PAB 面积的最小值.23. (本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数2()|2|||f x x a x a. (1)当2a 时，解不等式()1f x ； (2)求函数()()()g x f x f x 的最小值.理科数学BBDAB CCACB CA13. 3 14. 4 15.51152 16. 17.（1）由正弦定理得2sin 3sin A B =……1分2sin 23sin B B =，4sin cos 3sin B B B = ……2分sin 0B ≠Q ，3cos 4B ∴=……3分 2cos cos22cos 1A B B ∴==- ……4分 2312()148=⨯-= ……5分（2）sin 8A ==，……6分 sin 4B ==……7分 sin sin()sin cos cos sinC A B A B A B ∴=+=+……8分318484=+⨯=9分 1sin 2ABC S ab C ∆∴==10分 得到96ab =……11分又23a b =，可得12,8a b ==. ……12分18. （1）依题意，(0.0080.00250.00350.0080.002)1001a +++++⨯=，……1分 得0.0022a = ……2分从该企业的员工中随机抽取3人，可近似的看为独立重复实验，每人手机月流量不超过900M 的概率为1(0.0080.002)1000.9-+⨯=，……3分至多1人可分为恰有一人和没有人超过900M ，设事件A 为“3人中至多有1人手机月流量不超过900M ” ，……4分 则1233()0.90.10.10.028P A C =⨯⨯+=……5分 （2）若该企业选择A 套餐，设一个员工的所需费用为X ，则X 可能为20,30,40……6分……7分200.3300.6400.128EX =⨯+⨯+⨯=……8分若该企业选择B 套餐，设一个员工的所需费用为Y ，则Y 可能为30,40……9分……10分300.98400.0230.2EY =⨯+⨯=……11分 30.228>Q∴订购A 套餐更经济. ……12分19.（1）Q 四边形11BB C C 是菱形 11B C BC ∴⊥……1分1B C AB ⊥Q ，且1BC AB B =I1B C ∴⊥平面1ABC ……2分1B C AO ∴⊥……3分1AB AC =Q ， O 是1BC 的中点，1AO BC ∴⊥……4分又11BC B C O =I ， AO ∴⊥平面11BB C C ……5分（2）（法一）11//AB A B Q∴直线11A B 与平面11BB C C 的所成角等于直线AB 与平面11BB C C 的所成角AO ⊥Q 平面11BB C C∴直线AB 与平面11BB C C 的所成角为ABO ∠， (6)分即45ABO ∠=o不妨设菱形11BB C C 的边长为2，则在等边三角形1BB C中，11BO CO B O ===在直角三角形ABO中，AO BO ==7分以O 为原点建立空间直角坐标系，则11(0,1,0),(0,1,0),(B C A -……8分111(0,2,0),A B B C ==-u u uu r u u u r设平面11A B C 的一个法向量为1(,,),n x y z =u r则11111020n A B n B C y ⎧==⎪⎨=-=⎪⎩u r u u u u rg u r u u u r g 得1(1,0,1)n =ur ……9分 而平面1AB C 的一个法向量为2(1,0,0),n =u u r……10分121212cos ,2||||n n n n n n ∙<>===u r u u ru r u u r u r u u r ……11分∴二面角11A B C A --的大小为45o . ……12分（法二）不妨设菱形11BB C C 的边长为2，则在等边三角形1BB C中，11BO CO B O ===设AO a =以O为原点建立空间直角坐标系，则11(0,1,0),(0,1,0),()B C A a -……6分11),A B a =-u u u u r 平面11BB C C 的法向量为(0,0,1),n =r依题意有，111111|||cos ,|sin 452||||A B n A B n A B n ∙<>====o u u u u u r ru u u u r r u u u u r r ，……7分得到a =8分因此，111(0,2,0),A B B C ==-u u u u r u u u r设平面11A B C 的一个法向量为1(,,),n x y z =u r则11111020n A B n B C y ⎧==⎪⎨=-=⎪⎩u r u u u u rg u r u u u r g 得1(1,0,1)n =ur ……9分 而平面1AB C 的一个法向量为2(1,0,0),n =u u r……10分121212cos ,2||||n n n n n n ∙<>===u r u u ru r u u r u r u u r ……11分∴二面角11A B C A --的大小为45o . ……12分20. （1）依题意有2222c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，……1分解得2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ……2分∴椭圆C 的方程为22142x y +=，……3分(2,0),(2,0)A B -，设00(,)M x y则20002000224MA MBy y y k k x x x ⋅=⋅=+--……4分 2020121242x x -==--……5分 （2）（法一）2NB MA k k =Q ，1NB MB k k ∴=-g ，……6分即NB MB ⊥ 设MN 的方程为x mx t =+，11(,)M x y ，22(,)N x y22142x mx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩222(2)240m y mty t ⇒+++-=……7分 则12222mt y y m +=-+，212242t y y m -=+……8分1212(2)(2)0BN BM x x y y =--+=u u u r u u u u rg ……9分得221212(1)(2)()(2)0m y y m t y y t ++-++-=2222242(1)(2)()(2)022t mtm m t t m m -++--+-=++g ……10分化简得23840t t -+=，23t =或2t =……11分 即MN 的方程为23x my =+或2x my =+， 因为2x mx =+经过右顶点，舍去；所以直线MN 经过定点2(,0)3……12分（法二）2NB MA k k =Q ，1NB MB k k ∴=-g，……6分即NB MB ⊥当MN x ⊥轴时，直线MN 方程为23x =……7分 MN 的斜率存在时，设MN 的方程为y kx m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y 22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩222(12)4240k x kmx m ⇒+++-=，……8分 则122412km x x k +=-+，21222412m x x k -=+ 1212(2)(2)0BN BM x x y y =--+=u u u r u u u u rg ……9 分得2221212(1)(2)()40k x x k x x m ++-+++=……10分222222244(1)(2)()401212m km k k m k k-++--++=++ 化简得224830k km m ++=,23m k =-或2m k =-……11分 即MN 的方程为23y kx k =-或2y kx k =-， 因为2y kx k =-经过右顶点，舍去；所以直线MN 经过定点2(,0)3……12分（法三）设MA 的方程为1(2)y k x =+122(2)142y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩2222111(12)8840k x k x k ⇒+++-=，……6分 212184212M k x k --=+，……7分得21214212M k x k -=-+，121412Mk y k =+ 设NB 的方程为2(2)y k x =-222(2)142y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩2222222(12)8840k x k x k ⇒+-+-=， 222284212N k x k -=+，得22224212N k x k -=+，222412N k y k -=+……8分 212k k =Q22212221421621218N k k x k k --∴==++，212221481218Nk k y k k --==++……9分 11221122112211841812162421812N M MNN M k k y y k k k k k x x k k ---++∴==---+++121341k k =--……10分 直线MN 的方程为21112221114342()124112k k k y x k k k --=-++-+ ……11分即111222111323(32)414141k k k y x x k k k =-+=-+--- 所以直线MN 经过定点2(,0)3.……12分21（1）2'()2xf x ea =- ……1分0a ≤时，'()0f x >，()f x 在R 上递增 ……2分0a >时，由'()0f x =得1ln 22ax =，……3分1(,ln )22a x ∈-∞，'()0f x <，()f x 在1(,ln )22a -∞上递减 ；1(ln ,)22ax ∈+∞，'()0f x >，()f x 在1(ln ,)22a+∞上递增 ……4分（2）22()1xf x e ax ax =->+变形为2210x e ax ax --->令22()1xg x eax ax =---, 2'()22x g x e ax a =--令'()0g x =，可得2221xe a x =+ ……5分令22()21xe h x x =+，228'()(21)x xe h x x =+ ……6分 0x >时，'()0h x >，()h x 在(0,)+∞上单调递增 ……7分()h x ∴的值域是(2,)+∞ ……8分当2a ≤时，'()0g x =没有实根，'()0g x >，……9分()g x 在(0,)+∞上单调递增, ()(0)0g x g >=，符合题意. ……10分 当2a >时，'()0g x =有唯一实根0x ，0(0,)x x ∈时，'()0g x <，……11分 ()g x 在0(0,)x 上递减， ()(0)0g x g <=，不符题意. ……12分 综上，a 的取值范围是2a ≤.22（1）曲线1C 转化为直角坐标：24cos ρρθ=，2240x y x +-=，……1分 即22(2)4x y -+=直线l 转化为直角坐标：cos sin 22ρθρθ-=40x y --= ……2分 联立22(2)440x y x y ⎧-+=⎨--=⎩得到曲线1C 和直线l 的交点(4,0),，……3分(2,2)-……4分它们的极坐标为7)4π.（注：)4π-也可以）……5分（2）由（1）得||AB ==……6分因此，PAB ∆的面积取得最小时也就是P 到直线l 的距离最小的时候设(2cos ,sin )P ϕϕ则P 到直线l 的距离d =……7分=……8分当cos()1ϕα+=时，d=9分因此PAB ∆的面积的最小值为142⨯=10分 23（1）当2a =时,|22||1|1x x -++≥ ……1分1x ≤-时，2211x x ---≥，得0x ≤，即有1x ≤-……2分11x -<<时，2211x x -++≥，得2x ≤，即有11x -<<……3分1x ≥时，2211x x -++≥，得23x ≥，即有1x ≥……4分 综上，不等式()1f x ≥的解集为R. ……5分（2）22()()()|2||||2|||g x f x f x x a x x a x a a=+-=-+++--+-+……6分 22|2||2|||||x a x a x x a a=-+++++- 22|(2)(2)||()()|x a x a x x a a≥--+++--……7分 4|2|||a a=+……8分≥=9分当且仅当22(2)(2)0,()()0x a x a x xa a-+≤+-≤且4|2|||aa=时取“=”函数()g x的最小值为10分。