1
1
3
S ABC ab sinC
6 10
15 3
2
2
2
题型 4 判断三角形形状 [ 例 5] 在 ABC 中，已知 (a2 b2 ) sin( A B) ( a2 b2) sin( A B) , 判断该三角形的形状。 【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。 方法一： a2[sin( A B) sin( A B)] b2[ sin( A B) sin( A B)]
1, 所以
题型 2 三角形解的个数
[ 例 3] 在 ABC 中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是【
】
A、 a 7 ， b 14 ， A 30 ；
B、 b 25 ， c 30 ， C 150 ；
C、 b 4 ， c 5 ， B 30 ；
D、 a 6 ， b 3 ， B 60 。
题型 3 面积问题 [ 例 4] ABC 的一个内角为 120°，并且三边构成公差为 4 的等差数列，则 ABC 的面积 为 【解析】设△ ABC的三边分别： x－ 4、 x、 x＋ 4， ∠ C=120°，∴由余弦定理得：﹙ x ＋ 4﹚ 2 =﹙ x － 4 ﹚ 2 ＋ x 2 － 2 ×﹙ x － 4 ﹚× x × cos120°， 解得： x=10 ∴△ ABC三边分别为 6、 10、14。
3、余弦定理及其推论
a2 b2 c2 2bccos A b2 a2 c2 2accosB c2 a2 b2 2ab cosC
文档
cos A cos B cosC
b2 c2 a2
2bc
2
2
2
acb
2ac a2 b2 c2
2ab
实用标准文案
4、余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边。
（2） 2
2
2
4R
；
1
S r (a b c)(r为内切圆半径 )
（3） 2
。
二、典型例题
题型 1 边角互化
[ 例 1 ] 在 ABC 中，若 sin A : sin B : sin C 3 : 5 : 7 ，则角 C 的度数为 【解析】由正弦定理可得 a:b:c=3:5:7 ，, 令 a、b、c 依次为 3、5、7，则
[ 例 2 ] 若 a 、 b 、 c 是 ABC 的三边， f ( x) b 2 x2 (b2 c 2 a 2 ) x c 2 ，则函数 f ( x) 的 图象与 x 轴【 】
A、有两个交点 B、有一个交点 C、没有交点 D 、至少有一个交点 【解析】由余弦定理得 b2 c2 a2 2bc cos A ，所以 f (x) b2 x2 2bc cosA x c2 = (bx c cos A)2 c2 c2 cos2 A ，因为 cos2 A c2 c2 cos2 A 0，因此 f ( x) 0 恒成立，所以其图像与 X 轴没有交点。
（3）在△ ABC中，A+B+Cπ= ，所以 sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)= －cosC；tan(A+B)= －tanC。
AB
C AB
C
sin
cos , cos
sin
2
2
2
2
7、两角和与差公式、二倍角公式（略）
8、实际问题中的常用角
（1）仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如 图①）
a sin A a sin A b sin B
(4)
,
,
b sin B c sin C c sin C
教学过程
2、正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边 （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况） 已知 a， b 和 A，求 B 时的解的情况 : 如果 sin A≥ sin B，则 B 有唯一解；如果 sin A<sin B<1，则 B 有两解； 如果 sin B=1，则 B 有唯一解；如果 sin B>1，则 B 无解 .
5、常用的三角形面积公式
（1） S ABC （2） S ABC
1 底 高； 2
1 absin C 1 bc sin A
2
2
1 casin B （两边夹一角）； 2
6、三角形中常用结论
（1） a b c,b c a, a c b(即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）
（2） 在 ABC中， A B a b sin A sin B(即大边对大角，大角对大边）
a
b
c 2R (R为三角形外接圆半径）
sin A sin B sin C
（1） a 2R sin A, b 2R sin B, c 2R sin C (边化角公式）
（2）sin A
a ,sin B
b ,sin C
2R
2R
（3） a : b : c sin A : sin B : sin C
c (角化边公式） 2R
2a2 cos A sin B 2b2 cos B sin A 由正弦定理，即知 sin 2 A cos Asin B sin2 B cos B sin A
a 2 b2 c 2 32 52 7 2
1
cosC=
=
=
2ab
235
2
因为 0 C
，所以 C=2 3
在△ ABC中， sin 2 A sin 2 B sin 2 C sin Bsin C ，则 A 的取值范围是
(0, ]
（A） 6
文档
[ ,)
（ B） 6
(0, ]
（C） 3
[ ,)
（D） 3
实用标准文案
（2）方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为α（如图②） 注：仰角、 俯角、 方位角的区别是： 三者的参照不同。 仰角与俯角是相对于水平线而言的， 而方位角是相对于正北方向而言的。
文档
实用标准文案
（3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③） ①北偏东 即由指北方向顺时针旋转 到达目标方向； ②北偏本 即由指北方向逆时针旋转 到达目标方向；
③南偏本等其他方向角类似。
（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角） 坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④， i 为坡比）
9、Δ ABC的面积公式
1
S a ha (ha表示 a边上的高 )
（1） 2
；
1
1
1
abc
S ab sin C ac sin B bc sin A
(R为外接圆半径 )
实用标准文案
姓名 学科
数学
学生姓名 年级
阶段
观察期□：第（ ）周
课题名称
解三角形题型归纳总结复习
教学目标
同步教学知识内容 个性化学习问题解决
教学重点
教学难点
高三
填写时间 教材版本
维护期□
本人课时统计
课时计划
2
人教 A 版
第（ ）课时 共（
1、正弦定理及其变形