山东省2022年冬季普通高中学业水平合格考试数学试卷一、选择题(本大题共20题，每小题3分，共计60分。

每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的)1．设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B =（ ） A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,42．已知p ：02x <<，那么p 的一个充分不必要条件是（ ） A ．13x << B ．11x -<< C ．01x <<D ．03x <<3．已知i 是虚数单位，若1i z =+，则=z （ ）A ．1B ．0C ．2D4．设命题0:p x R ∃∈，2010x +=，则命题p 的否定为（ ）A ．x R ∀∉，210x +=B ．x R ∀∈，210x +≠C ．0x R ∃∉，2010x +=D ．0x R ∃∈，2010x +≠5．函数11y x =+的定义域为（ ） A ．[)4,1--B ．[)()4,11,---+∞ C ．()1,-+∞ D ．[)4,-+∞6．已知向量()2,1a =，()1,1b =-，则a b +=（ ） A ．()3,0B ．()3,1C ．()1,2-D ．()1,27．某中学共有学生2500人，其中男生1500人，为了解该校学生参加体育锻炼的时间，采用分层抽样的方法从该校全体学生中抽取一个容量为50的样本，则样本中女生的人数为（ ） A ．10B ．15C ．20D ．308．为了得到函数sin()3y x π=-的图像，只需将函数sin y x =的图像A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位D ．向左平移3π个单位9．已知点(2,P 为角α终边上一点，则cos α的值为（ ）A ．23-B ．53-C ．23D ．5310．有一副去掉了大小王的扑克牌，充分洗牌后，从中随机抽取一张，则抽到的牌为“黑桃”或“A ”的概率为（ ） A ．152B ．827C ．413D ．175211．函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π12．如图，在四面体OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在OA 上，且2OM MA =，点N 为BC 的中点，则MN =（ ）．A ．121232a b c -+B ．211322a b c -++C ．112223a b c +-D ．221332a b c +-13．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ） A ．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B ．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C ．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D ．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 14．设函数()1221,0=,>0x x f x x x --≤⎧⎪⎨⎪⎩，若()01f x <，则0x 的取值范围是（ ）A ．()1,1-B ．()1,∞-+C ．()(),11,∞∞--⋃+D ．()(),10,∞∞--⋃+15．函数4(1)1y x x x =+>-的最小值是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．816．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为（ ） A ．π2B ．π3C ．π4D ．π617．函数31()()log 3x f x x =-的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．318．函数()()2413f x x m x =-+-+在区间(],4∞-上单调递增，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(],3∞-B ．[)1,∞+C ．(],1∞--D ．[)1,∞-+19．已知a =b =c =a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>20．设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．53- B ．13- C ．13 D ．53二、填空题:本大题共5小题,每小题3分，共15分. 21．已知向量()3,4a =，()2,1b =，则()a b b -⋅=______.22．底面为正方形的直棱柱，，，则这个棱柱的侧面积是______．23．cos40sin70sin40sin160=-_______．24．甲、乙两个气象站同时作气象预报，如果甲站、乙站预报的准确率分别为0.8和0.7，那么在一次预报中两站恰有一次准确预报的概率为______．25．空间四个点P 、A 、B 、C 在同一球面上，P A 、PB 、PC 两两垂直，且P A=PB=PC=a ，那么这个球的体积是_______________.三、解答题:本题共3小题，共25分.26．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，E 为1DD 中点.（1）求证：1//BD 平面ACE ； （2）求证：1BD AC ⊥.27．已知函数()222sin 4cos 1f x x x =-+.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.28．已知函数()221x f x x =+(1)证明：()f x 为偶函数；(2)判断()()g x f x x =+的单调性并用定义证明； (3)解不等式()()222f x f x x --+>山东省2022年冬季普通高中学业水平合格考试数学答案一、选择题(本大题共20题，每小题3分，共计60分。

每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的) 1．【答案】B【解析】由题设有{}2,3A B ⋂=， 故选：B . 2．【答案】C【解析】对于A ，(1,3)(0,2)⊄，且(0,2)(1,3)⊄，即13x <<是p 的不充分不必要条件，A 不是； 对于B ，(1,1)(0,2)-⊄，且(0,2)(1,1)⊄-，即11x -<<是p 的不充分不必要条件，B 不是；对于C ，(0,1) (0,2)，即01x <<是p 的一个充分不必要条件，C 是； 对于D ，(0,2) (0,3)，即03x <<是p 的必要不充分条件，D 不是. 故选：C 3．【答案】D【解析】因为1i z =+，所以1i z =-，故=1i z -故选：D 4．【答案】B【解析】利用含有一个量词的命题的否定方法可知，特称命题0:p x R ∃∈，2010x +=的否定为：x R ∀∈，210x +≠.故选：B. 5．【答案】B【解析】依题意4010x x +≥⎧⎨+≠⎩，解得41x x ≥-⎧⎨≠-⎩，所以函数的定义域为[)()4,11,---+∞.故选：B ． 6．【答案】A【解析】因为()2,1a =，()1,1b =-， 所以(21,11)(3,0)a b +=+-=， 故选：A 7．【答案】C【解析】因为共有学生2500人，其中男生1500人， 所以女生有1000人， 所以样本中女生的人数为100050202500⨯=人 故选：C 8．【答案】B【解析】由已知中平移前函数解析式为y ＝sin x ，根据函数图象平移“左加右减“的原则，要使平移后函数解析式为：sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则向右平行移动3π个单位长度， 故选B ． 9．【答案】C【解析】因为点()2,5-P 为角α终边上一点，所以()2222cos 325α==+-，故选：C 10．【答案】C【解析】由题意可知，该副扑克牌共52张，其中“黑桃”共13张，“A ”共4张， 则抽到的牌为“黑桃”或“A ”共134116+-=张，故所求概率为1645213P ==. 故选：C. 11．【答案】A【解析】根据解析式可知：()f x 最小正周期22T ππ==. 故选：A. 12．【答案】B 【解析】连接ON ，则由题可得MN ON OM =- 12()23OB OC OA =+- 211322a b c =-++故选：B. 13．【答案】C【解析】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.020.040.066%+==,故A 正确； 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.040.0230.1010%+⨯==,故B 正确； 该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为0.100.140.2020.6464%50%++⨯==>,故D 正确；该地农户家庭年收入的平均值的估计值为30.0240.0450.1060.1470.2080.2090.10100.10110.04120.02130.02140.027.68⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(万元)，超过6.5万元，故C 错误. 综上，给出结论中不正确的是C. 故选：C. 14．【答案】A【解析】当00x ≤时，则()00=21<1xf x --，解得01<0x -≤当0>0x 时，则()1200=f x x ，解得00<<1x综上所述：0x 的取值范围是()1,1- 故选：A. 15．【答案】B【解析】因为1x >，所以10x ->，所以4(1)1151y x x =-++≥=-， 当且仅当411x x -=-，即=3x 时取等号， 所以4(1)1y x x x =+>-的最小值是5， 故选：B 16．【答案】D 【解析】如图，连接11,,BC PC PB ，因为1AD ∥1BC ， 所以1PBC ∠或其补角为直线PB 与1AD 所成的角，因为1BB ⊥平面1111D C B A ，所以11BB PC ⊥，又111PC B D ⊥，1111BB B D B ⋂=， 所以1PC ⊥平面1PBB ，所以1PC PB ⊥，设正方体棱长为2，则1111122,22BC PC D B ===， 1111sin 2PC PBC BC ∠==，所以16PBC π∠=. 故选：D 17．【答案】B【解析】函数31()()log 3x f x x =-的零点个数，即31()log 03x x -=的解得个数，等价于1()3xy =与3log y x =的交点个数，在同一平面直角坐标系中作出函数图象，由图可知两函数只有一个交点，故函数31()()log 3xf x x =-有一个零点,故选：B18．【答案】C【解析】函数()()2413f x x m x =-+-+的图像的对称轴为4(1)222m x m -=-=--， 因为函数()()2413f x x m x =-+-+在区间(],4-∞上单调递增，所以224m -≥，解得1m ≤-， 所以m 的取值范围为(],1-∞-， 故选：C 19．【答案】B【解析】由237a b -=2(23)567=+>，故a b >；由226a c -=-且2(22)86=>，故a c >； ()()7263b c -=+-+且()()22639218921472+=+>+=+，故c b >.所以a c b >>， 故选：B . 20．【答案】C【解析】由题意可得：522213333f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 而21111133333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故5133f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：C.二、填空题:本大题共5小题,每小题3分，共15分. 21．【答案】5【解析】因为向量()3,4a =，()2,1b =，所以()()()3,42,11,3a b -=-=， 所以()()()1,32,112315a b b ⋅=-⨯==+⋅⨯， 故答案为：5. 22．【答案】8 【解析】如图所示：2BD 1AB AD ∴==，又16BD =2221116DD ∴++ 解得：12DD =，所以棱柱的侧面积1248S =⨯⨯=. 故答案为：823．【答案】12【解析】cos40sin70sin40sin160=-()cos 40sin 70sin 40sin 7090-+=cos 40sin 70sin 40cos70-=()1sin 7040sin 302-==. 故答案为：12.24．【答案】0.38【解析】因为甲、乙两个气象站同时作气象预报，甲站、乙站预报的准确率分别为0.8和0.7，所以在一次预报中两站恰有一次准确预报的概率为()()0.810.710.80.70.38⨯-+-⨯=． 故答案为：0.38 25．【答案】33π2a【解析】空间四个点P 、A 、B 、C 在同一球面上，P A 、PB 、PC 两两垂直，且P A=PB=PC=a ， 则P A 、PB 、PC 可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱,所以过空间四个点P 、A 、B 、C 的球面即为棱长为a 的正方体的外接球,球的直径即是正方体的对角线长为2223,a a a a ++=所以这个球面的体积33433π322a a V π⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭. 故答案为:33π2a 三、解答题:本题共3小题，共25分.26．证明：（1）设AC 与BD 交于点O ，接OE ， 底面ABCD 是菱形，O ∴为DB 中点，又因为E 是1DD 的中点，1//OE D BB ∴，OE ⊂面AEC ，1BD ⊂平面AEC 1//BD ∴平面ACE ． （2）底面ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥， 1DD ⊥底面ABCD ，AC ⊂底面ABCD ， 1DD AC ∴⊥，且1DB DD D =，1,DB DD ⊂平面11BDB D ． AC ∴⊥平面11BDB D ． 1BD ⊂平面11BDB D ，1AC BD ∴⊥．27．（1）()222sin 4cos 1f x x x =-+()1cos221cos21x x =--++3cos2x =-，所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==. （2）因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以220,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 于是1cos 2,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 所以()33,2f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 所以()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是-3，最大值是32. 28．解：()()221x g x f x x x x =+=++，所以()g x 为R 上的增函数， 证明： 任取1x ，2x ∈R ，且12x x >，()()22221212121212222212121111x x x x g x g x x x x x x x x x ⎛⎫-=+-+=-+- ⎪++++⎝⎭()()()()222212211222121111x x x x x x x x +-+=-+++2212122212(1)(1)x x x x x x -=-+++ 12122212()1(1)(1)x x x x x x ⎡⎤+=-+⎢⎥++⎣⎦ 22221212121222121()(1)(1)x x x x x x x x x x ⎡⎤+++++=-⎢⎥++⎣⎦ 22221212122212111()()222().(1)(1)x x x x x x x x ⎡⎤+++++⎢⎥=-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦∵12x x >，∴220x x ->，又()()222212122212111222011x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>++， ∴22221212122212111()()222()0(1)(1)x x x x x x x x ⎡⎤+++++⎢⎥->⎢⎥++⎢⎥⎣⎦，即()()12g x g x >， ∴()g x 为R 上的增函数；（3）不等式()()222f x f x x --+>， 等价于()()()2222f x x f x x f x x +>-+-=-+- 即()()2g x g x >-，∵()g x 为R 上的增函数，∴2x x >-，解得1x >，故不等式的解集为()1,+∞.。