等腰三角形性质：三线合一”专题
等腰三角形有一个重要的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

这就是著名的等腰三角形“三线台一”性质。

“三线合一”性质常用来证明两线垂直、两线段相等和两角相等。

反之，如果三角形一边上的中线、这边上的高、这边所对角的角平分线中有两条重合，那么这个三角形就是等腰三角形。

【例题讲解】
例1．如图所示，在等腰△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AD上。

求证：BE=CE。

变式练习1-1 如图，在△ABC中，AB=AC，D是形外一点，且BD=CD。

求证：AD垂直平分BC。

变式练习1-2 已知，如图所示，AD是△ABC，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高。

求证：AD垂直平分EF。

例二：如图△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，若CD＝4，且△BDC周长为24，求AE
的长度。

A
例三. 等腰三角形顶角为α，一腰上的高与底边所夹的角是β，则β与α的关系式为β=___________。

图1
分析：如图1，AB=AC ，BD ⊥AC 于D ，作底边BC 上的高AE ，E 为垂足，则可知∠EAC=∠EAB =
1
2
α，又∠EAC C C =-=-9090°∠，∠°∠β，所以∠，EAC ==
ββα1
2。

例四. 已知：如图2，△ABC 中，AB=AC ，CE ⊥AE 于E ，CE BC =
1
2
，E 在△ABC 外，求证：∠ACE=∠B 。

图2
分析：欲证∠ACE=∠B ，由于AC=AB ，因此只需构造一个与Rt △ACE 全等的三角形，即做底边BC 上的高即可。

证明：作AD ⊥BC 于D ， ∵AB=AC ，
∴BD BC =
1
2 又∵CE BC =1
2
，
∴BD=CE 。

在Rt △ABD 和Rt △ACE 中， AB ＝AC ，BD=CE ，
∴Rt △ABD ≌Rt △ACE （HL ）。

∴∠ACE=∠B
例五. 已知：如图3，等边三角形ABC 中，D 为AC 边的中点，E 为BC 延长线一点，CE=CD ，DM ⊥BC 于M ，求证：M 是BE 的中点。

图3
分析：欲证M 是BE 的中点，已知DM ⊥BC ，因此只需证DB=DE ，即证∠DBE=∠E ，根据等边△ABC ，BD 是中线，可知∠DBC=30°，因此只需证∠E=30°。

证明：联结BD ，
∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60° ∵CD=CE ，
∴∠CDE=∠E=30° ∵BD 是AC 边上中线，
∴BD 平分∠ABC ，即∠DBC=30° ∴∠DBE=∠E 。

∴DB=DE
又∵DM ⊥BE ，
∴DM 是BE 边上的中线，即M 是BE 的中点。

巩固练习一：
1、已知ABC ∆的周长为cm 36，且AC AB =，又BC AD ⊥，D 为垂足，ABD ∆的周长为cm 30，那么AD 的长为（ ）
A ．cm 6 B. cm 8 C. cm 12 D. cm 20
2、如图2，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAD=300
，AD=AE ，则∠EDC=（ ）
A ．100 B. 12.50 C.150 D.200
3、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，则图中全等三角形共有（ ） A 、 2对 B 、3对 C 、4对 D 、5对
4 、如图，在等腰直角△ABC 中，AD 为斜边上的高，以D 为端点任作两条互相垂直的射线与两腰相交于E 、F ，连
结EF 与AD 相交于G ，则∠AED 与∠AGF 的关系为( )
A ．∠AED>∠AGF
B ．∠AED ＝∠AGF
C ．∠AED<∠AGF
D ．不能确定
5、如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，且BD=BE ，∠A=84°，则∠DEC=
6、如图，CE 平分∠ACB ，且CE ⊥BD ，DA=DB ，又知AC=18，△CDB 的周长为28，那么BE 的长为 。

D A
B C E F 第3题图 A B D
E
C 第2题图
第4题图
A D
D E
A
E
D
7、如图，在等腰△ABC 中，∠ABC=90°，D 为AC 边上中点，过D 点作DE ⊥DF ，交AB 于E ，交BC 于F ，若AE=4，FC=3，则△ABC 的面积为
8、、如图，四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于E 点，若AC 平分∠DAB ，且AB=AE ，AC=AD ，有如下四个结论： ①AC ⊥BD ；②BC=DE ；③∠DBC=
2
1
∠DAB ； ④△ABE 是等边三角形．请写出正确结论的序号 ．(把你认为正确结论的序号都填上)
9、已知：如图2，△ABC 中，AB=AC ，CE ⊥AE 于E ，CE BC
1
2
，E 在△ABC 外，求证：∠ACE=∠B 。

10、如图△ABC 中，AB=AC D 为AC 上任意一点，延长BA 到E 使得AE=AD 连接DE ，求证DE ⊥BC
11、已知：如图１，△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ是ＢＣ上一点，Ｅ、Ｆ分别为ＡＢ、ＡＣ上的点，且ＢＤ＝ＣＦ，ＣＤ＝ＢＥ，Ｇ为ＥＦ的中点，求证：ＤＧ⊥ＥＦ．
E
D
C
B
A
12、如图，以△ABC 的边AB ，AC 为边分别向形外作正方形ABDE 和ACFG ，DM 、FN 分别垂直直线BC 于M 、N.若DM=FN,求证： ∠ABC=∠ACB
【巩固练习二】
1、 等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则周长是________。

2、 在△ABC 中，已知AB ＝AC ，AD 是中线，∠B ＝70°，BC ＝15cm ， 则∠BAC ＝________，∠DAC ＝________，BD
＝________cm 。

3、 在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，AB ＝3，AC ＝4，则AD ＝________。

4、 已知△ABC 中，∠A ＝n °，角平分线BE 、CF 相交于O ，则∠BOC 的度数应为（ ） （A ）90°－
n 21°（B ）90°＋ n 21°（C ）180°－n °（B ）180°－n 2
1
° 5、 下列两个三角形中，一定全等的是（ ） （A ）有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形 （B ）两个等边三角形
（C ）有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形 （D ）有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形
6、 已知：如图，△ABC 中，AB=AC 。

小强想做∠BAC 的平分线，但他没有量角器，只有刻度尺，他如何做出∠BAC
的平分线？
7、 已知：如图，B 、D 、E 、C 在同一直线上，AB=AC ，AD=AE 。

求证：BD=CE 。

N
M
G
F
E
D
C
B
A
A
C
B
D
E
8、如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AB上一点，且BD=BC。

DE⊥AB交AC于E。

求证：CD⊥BE。

9、如图，锐角△ABC中，∠B=2∠C，AD为BC边上的高，求证：DC=AB+BD。

10、如图2，BM，CN分别是△ABC的外角∠BAD、∠ACE的平分线。

AM⊥BM，M、N为垂足。

求证：MN∥CN。