等腰三角形三线合一专题训练1例1：如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。
求证：BC=AB+DC。
变1：如图，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E是AD边中点。
求证：CE⊥BE。
变2：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC.（1）求证：AE⊥BE；（2）求证：E是CD的中点；（3）求证：AD+BC=AB.A DE变3：△ABC 是等腰直角三角形 ，∠BAC=90°,AB=AC.⑴若D 为BC 的中点，过D 作DM ⊥DN 分别交AB 、AC 于M 、N ，求证：（1）DM ＝DN 。
⑵若DM ⊥DN 分别和BA 、AC 延长线交于M 、N 。
问DM 和DN 有何数量关系。
(1) 已知：如图，AB=AC ，E 为AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，且BE=CF ，EF 交BC 于点D ． 求证：DE=DF ．DBCF AEM ND CB A MND CBA(2)已知：如图，AB=AC ，E 为AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，且，EF 交BC 于点D ，且D 为EF 的中点． 求证：BE=CF ．DBCF AE利用面积法证明线段之间的和差关系1、如图，在△ABC 中，AB=AC ，P 为底边BC 上的一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，•CF ⊥AB 于F ，那么PD+PE 与CF 相等吗？变1：若P点在直线BC上运动，其他条件不变，则PD 、PE与CF的关系又怎样，请你作图，证明。
ＦＦ1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9，则它的周长为（）A 17B 22C 17或22D 13根据等腰三角形的性质寻求规律例1．在△ABC中，AB=AC，∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB，BD与CE相交于点O，如图，∠BOC的大小与∠A的大小有什么关系？若∠1=13∠ABC，∠2=13∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？若∠1=1n∠ABC，∠2=1n∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？会用等腰三角形的判定和性质计算与证明例2．如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，一腰上的中线BD•将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．利用等腰三角形的性质证线段相等例3．如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连结PA 、PB 、PC ，•以BP 为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP ，连结CQ ．（1）观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论．（2）若PA ：PB ：PC=3：4：5，连结PQ ，试判断△PQC 的形状，并说明理由．例1、等腰三角形底边长为5cm ，腰上的中线把三角形周长分为差是3cm 的两部分，则腰长为（ ） A 、2cm B 、8cm C 、2cm 或8cm D 、不能确定例2、已知AD 为△ABC 的高，AB=AC ，△ABC 周长为20cm ，△ADC 的周长为14cm ，求AD 的长。
例3、如图，已知BC=3，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，OE ∥AB ，OF ∥AC ，求△OEF 的周长。
A B C ABFCOE例4、如图，已知等边△ABC 中，D 为AC 上中点，延长BC 到E ，使CE=CD ，连接DE ，试说明DB=DE 。
例5、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为450，则这个三角形是（ ） A 、锐角三角形 B 、钝角三角形 C 、等边三角形 D 、等腰直角三角形例6、（1）等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边的长为 。
（2）直角三角形的周长为12cm ，斜边的长为5cm ，则其面积为 ； （3）若直角三角形三边为1，2，c ，则c= 。
例7、下列说法：①若在△ABC 中a 2+b 2≠c 2，则△ABC 不是直角三角形；②若△ABC 是直角三角形，∠C=900，则a 2+b 2=c 2； ③若在△ABC 中，a 2+b 2=c 2，则∠C=900；④若两直角边的平方和等于斜边的平方，可以判定这个三角形是直角三角形。
正确的有 （把你认为正确的序号填在横线上）。
例8、正三角形ABC 所在平面内有一点P ，使得△PAB 、△PBC 、△PCA 都是等腰三角形，则这样的P 点有（ ）（A ）1个（B ）4个（C ）7个（D ）10个例9. 四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC =∠CDA =90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE =（ ） A ．2B ．3C ．22D ．23例10. 已知△ABC 为正三角形，P 为其内一点，且AP=4，BP=32，CP=2，则△ABC 的边长为 （ ）A B C DE（A ） 52 （B ）72 （C ）4 （D ）24 三．巩固练习1、已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于9，求它的周长。
2、在△ABC 中，AB=AC ，∠B=400，则∠A= 。
3、等腰三角形的一个内角是700，则它的顶角为 。
4、有一个内角为40°的等腰三角形的另外两个内角的度数为 .140°呢5、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝105o，直线BD 交AC 于D ，把直角三角形沿着直线BD 翻折，点C 恰好落在斜边AB 上， 如果△ABD 是等腰三角形，那么∠A 等于 （ ） (A)40o(B) 30o(C) 25o(D )15o6、若△ABC 三边分别为a 、b 、c ，且满足a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c ，则△ABC 的形状为（ ） （A ）等腰三角形 （B ）直角三角形 （C ）等腰直角三角形 （D ）等边三角形 7、判定两个等腰三角形全等的条件可以是…………………… （ ）。
A 、有一腰和一角对应相等B 、有两边对应相等C 、有顶角和一个底角对应相等D 、有两角对应相等8、等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（ ）A 、顶角B 、底角C 、顶角的一半D 、底角的一半9、在等腰三角形ABC 中，∠A 与∠B 度数之比为5∶2，则∠A 的度数是（ ）A 、100°B 、75°C 、150°D 、75°或100°10、如图，P 、Q 是△ABC 边BC 上的两点，且QC ＝AP ＝AQ ＝BP ＝PQ ，则∠BAC ＝…（ ）A 、1250B 、1300C 、900D 、12011、如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD 、CE 为中线，图中共有等腰三角形（ ）个。
A 、4个B 、6个C 、3个D 、5个12、如图，AB ＝AC ，AE ＝EC ，∠ACE ＝280，则∠B 的度数是…………（ ）A 、60B 、70C 、76D 、45013、如图是一个等边三角形木框，甲虫P 在边框AC 上（端点A 、C 除外），设甲虫P 到另外两边距离之和为d ，等边三角形ABC 的高为h ， 则d 与h 的大小关系是（ ）Q10题图11题图12题图DCB A【解题方法指导】例1. 已知，如图，AB＝AC＝CD，求证：∠B＝2∠DAB C D例2. 已知，如图，△ABC是等边三角形，AD//BC，AD⊥BD，BC＝6，求AD的长。
D AB C【考点指要】等腰三角形、等边三角形及含30°角的直角三角形是应用非常广泛的图形，因此，在中考试题中经常以证明题或计算题频频出现，而且经常把它们结合在一道题中加以应用，虽然题目的难度不是很大，但也要善于分析，找出图形中有关的性质。
【典型例题分析】例1. （2005年苏州）如图，等腰三角形ABC的顶角为120°，腰长为10，则底边上的高AD＝________。
AB CD例2. 已知，如图，△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，AD＝8，∠A＝30°，求CD的长。
CDA BE例3. 已知，如图，△ABC是等边三角形，E是AB上一点，D是AC上一点，且AE＝CD，又BD与CE交于点F，试求∠BFE的度数。
AE DFB C【综合测试】1. 已知，如图，AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，求证：DB＝DCAB CD2. 已知，如图，D、E是BC上两点，AB＝AC，AD＝AE，求证：BD＝CEAB D E C3. 已知，如图，△ABC中，DE//BC，AB＝AC，求证：AD＝AEAD EB C4. 已知，如图，△ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，DE交BC于F，又BD＝CE，求证：DF＝EFADB CEF5. 已知，如图，D是BC上一点，△ABC、△BDE都是等边三角形，求证：AD＝CEAB D CE6. 已知，如图，△ABC中，∠B＝90°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，又∠C＝15°，EC＝10，求AB的长。
ADB CE例6、如图11，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC边中点，E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，求证：AE＋AF是一个定值.证明：连接AD，∵AB＝AC，D为BC中点，∴AD⊥BC，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°，∴∠BAD＝45°，∠CAD＝45°，∴AD＝BD＝CD，图11∵∠EDF ＝90°，∴∠EDA ＋∠ADF ＝90°，又由AD ⊥BC 得∠BDE ＋∠ADE ＝90°，∴∠BDE ＝∠ADF ，在△BDE 和△ADF 中，∠B ＝∠DAF ，BD ＝AD ，∠BDE ＝∠ADF ，∴△BDE ≌△ADF ， ∴BE ＝AF ，∴AE ＋AF ＝AE ＋BE ＝AB （定值）. 思考：四边形AEDF 的面积是否也是定值呢？为什么？例4、如图9，已知AD 为△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，且有BF ＝AC ，FD ＝CD ，你认为BE 与AC 之间有怎样的位置关系?你能证明它吗？ 证明：线段BE ⊥AC ，理由如下： ∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°， ∴∠FBD ＋∠BFD ＝90°，在Rt △BDF 和Rt △ADC 中，BF ＝AC ，FD ＝CD ， ∴Rt △BDF ≌Rt △ADC ，∴∠BFD ＝∠C ，∴∠FBD ＋∠C ＝90°，∴∠BEC ＝180°－（∠FBD ＋∠C ）＝180°－90°＝90°，即BE ⊥AC .例5、如图10，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，M 是AB 上一点，求证：2222AM BM CM +=. 证明：过C 作CD ⊥AB 于点D ， ∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，CD ⊥AB ， ∴∠A ＝∠B ＝45°，∠ACD ＝∠BCD ＝45°， ∴∠A ＝∠ACD ，∠B ＝∠BCD ，∴AD ＝BD ，BD ＝CD ，即AD ＝BD ＝CD ，∵CD ⊥AB ，∴222DM CD CM +=，∴2222222()()2()2AM BM AD DM BD DM DM CD CM +=-++=+=. 思考：请同学们试试用另外的方法来证明本题.例1、如图5，在△ABC 中，AB ＝AC ，点O 在△ABC 内，OB ＝OC ，求证：AO ⊥BC . 证明：延长AO 交BC 于点D ，∵AB ＝AC ，OB ＝OC ，OA ＝OA ，∴△ABO ≌△ACO ，图9BCD图10AM图5D B∴∠BAO＝∠CAO，即∠BAD＝∠CAD，∴AD⊥BC，即AO⊥BC.例2、如图6，在等边△ABC中，D、E分别在边BC、BA的延长线上，且AE＝BD，求证：CE＝DE.证明：过E作EF⊥CD于点F，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠BEF＝30°，∴BE＝2BF，即BA＋AE＝BC＋BD＝2BC＋CD＝2（BC＋CF），∴CD＝2CF，∴CF＝DF，在△CEF和△DEF中，CF＝DF，∠CFE＝∠DFE＝90°，EF＝EF，∴△CEF≌△DEF，∴CE＝DE.例3、如图7，已知在△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，求证：PD＋PE是一个定值.解：连接AP，过点C作CF⊥AB于点F，由12ABCS AB CF∆=⋅，12PABS AB PD∆=⋅，1122PACS AC PE AB PE∆=⋅=⋅，ABC PAB PACS S S∆∆∆=+，得：111222AB CF AB PD AB PE ⋅=⋅+⋅，即，PD PE CF+=（定值）.说明：本例的结论可用文字语言叙述为：等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于腰上的高.拓展：如果点P不是在边BC上，而是在BC的延长线上，其它条件保持不变，那么PD与PE之间又有怎样的关系呢？解：连接AP，过点C作CF⊥AB于点F，（如图8）由12ABCS AB CF∆=⋅，12PABS AB PD∆=⋅，1122PACS AC PE AB PE∆=⋅=⋅，ABC PAB PACS S S∆∆∆=-，得：111222AB CF AB PD AB PE⋅=⋅-⋅，图6图7P即,PD PE CF -=（定值）.即，当点P 在BC 延长线上时，PD 与PE 之差为一定值.基础训练：1、填空题：（1）等腰三角形中，如果底边长为6，一腰长为8，那么周长是 。