正多边形和圆—知识讲解（基础）【学习目标】1.了解正多边形和圆的有关概念及对称性；2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形；3.会进行正多边形的有关计算.【要点梳理】知识点一、正多边形的概念各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).知识点二、正多边形的重要元素1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．2.正多边形的有关概念(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3.正多边形的有关计算(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；(3)正ｎ边形每个外角的度数是.要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.知识点三、正多边形的性质1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.4.边数相同的正多边形相似。

它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆要点诠释：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形.知识点四、正多边形的画法1.用量角器等分圆由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.2.用尺规等分圆对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.①正四、八边形。

在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。

再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。

②正六、三、十二边形的作法。

通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。

显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。

同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。

要点诠释：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.【典型例题】类型一、正多边形的概念1．已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC 的度数是（）A．45° B．60° C．75° D．90°【答案】A.【解析】如图，连接OB、OC，则∠BOC=90°，根据圆周角定理，得：∠BPC=∠BOC=45°．故选A．【点评】本题主要考查了正方形的性质和圆周角定理的应用．举一反三：【变式】如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在⊙O上，则∠APB等于（）A．30° B．45° C．55° D．60°【答案】连接OA，OB．根据正方形的性质，得∠A OB=90°．再根据圆周角定理，得∠APB=45°．故选B．【高清ID号：356969 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】2．如图1，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠AOQ=（）A．60° B．65° C．72° D．75°图1 图2【思路点拨】连接OD，根据题意求出∠POQ和∠AOD的度数，利用平行关系求出∠AOP度数，即可求出∠AOQ 的度数．【答案】D.【解析】如图2，连接OD，由题意可知∠POQ=120°，∠AOD=90°，由BC∥RQ可知P为弧AD的中点，所以∠AOP=45°，所以∠AOQ=∠POQ-∠AOP=120°-45°=75°．故选D．【点评】解决此类问题的关键是作出恰当的辅助线（如正多边形的半径、边心距、中心角等），再利用正多边形与圆有关性质求解．类型二、正多边形和圆的有关计算3．（•鞍山一模）如图，点G，H分别是正六边形ABCDEF的边BC，CD上的点，且BG=CH，AG 交BH于点P．（1）求证：△ABG≌△BCH；（2）求∠APH的度数．【答案与解析】（1）证明：∵在正六边形ABCDEF中，AB=BC，∠ABC=∠C=120°，在△ABG与△BCH中，∴△ABG≌△BCH；（2）解：由（1）知：△ABG≌△BCH，∴∠BAG=∠HBC，∴∠BPG=∠ABG=120°，∴∠APH=∠BPG=120°．【点评】本题考查了正多边形的性质及相关计算，解题的关键是正确地利用正六边形中相等的元素．4．（•道里区二模）若同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长分别记作a3，a4，a6，则a3：a4：a6等于（）A.1：：B．1：2：3 C．3：2：1 D．：：1【思路点拨】从中心向边作垂线，构建直角三角来解决．【答案】D．【解析】解：设圆的半径是r，则多边形的半径是r，如图1，则内接正三角形的边长a3=r，如图2，内接正方形的边长是a4=r，如图3，正六边形的边长是a6=r，因而半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比a3：a4：a6=：：1．故选D．【点评】本题考查了正多边形和圆，正多边形的计算一般是通过中心作边的垂线，连接半径，构造直角三角形来求解．举一反三：【高清ID号：356969 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题5-6】【变式】如图是对称中心为点的正六边形．如果用一个含角的直角三角板的角，借助点（使角的顶点落在点处），把这个正六边形的面积等分，那么的所有可能的值是___________ __ .【答案】根据圆内接正多边形的性质可知，只要把此正六边形再化为正多边形即可，即可知：360÷30=12；360÷60=6；360÷90=4；360÷120=3；360÷180=2．故么n的所有可能的值是2，3，4，6，12．正多边形和圆—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1．一个正多边形的一个内角为120°，则这个正多边形的边数为( )A．9 B．8 C．7 D．62．如图所示，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是( )A ．23 cmB ．3 cmC ．233cm D ．1 cm第2题图 第5题图3．（•广州）已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（ ）A ．3B ． 9C ． 18D ． 364．正三角形、正方形、圆三者的周长都等于l ，它们的面积分别为S 1，S 2、S 3，则( )．A ．S 1＝S 2＝S 3B ．S 3＜S 1＜S 2C ．S 1＜S 2＜S 3D ．S 2＜S 1＜S 35．中华人民共和国国旗上的五角星的画法通常是先把圆五等分，然后连接五个等分点而得到的(如图所示)．五角星的每一个角的度数是( )．A ．30°B ．35°C ．36°D ．37°第6题图 第7题图 第9题图6．如图所示，是由5把相同的折扇组成的“蝶恋花”（如图①）和梅花图案（如图②）（图中的折扇无重叠），则梅花图案中的五角星的五个锐角均为（ ）A ．36°B ．42°C ．45°D ．48°二、填空题7．如图所示，平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边，则∠α等于________．8．要用圆形铁片裁出边长为4的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小是________．9．如图所示，等边△ABC 内接于⊙O ，AB ＝10cm ，则⊙O 的半径是________．10.（•铁岭）如图，点O 是正五边形ABCDE 的中心，则∠BAO 的度数为 ．11．正六边形的半径是5cm ，则边长6a =________，周长6P =________ ，边心距6r =________，面积6S =________．12. 正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为 .三、解答题13．如图所示，正△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，求△ABC的边长a，周长P，边心距r，面积S．14. 如图所示，半径为R的圆绕周长为10πR的正六边形外边作无滑动滚转，绕完正六边形后，圆一共转了多少圈？一位同学的解答过程：圆的周长为2πR，所以它绕完正六边形后一共转了102RRππ圈，结果一共转了5圈．你认为这位同学的解答有无错误？如有错误，请更正．15．（秋•吴江市校级期中）如图，已知等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，CD=5cm，求⊙O的半径R．【答案与解析】一、选择题1.【答案】D；【解析】可求每个外角为60°，∴ 360÷60＝6或(2)180120nn-⨯=°°∴ n＝6．2.【答案】A；【解析】较长对角线与较短对角线及一边长构成一直角三角形，用勾股定理求解．3.【答案】C；【解析】连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，等边三角形的边长是2，高为3，因而等边三角形的面积是3，∴正六边形的面积=18，故选C ．4.【答案】C ；【解析】当周长一定时，边数越多的正多边形其面积越大，当它成为圆时面积最大．5.【答案】C ； 【解析】五角星的每一个角所对的弧为圆的15，∴ 弧的度数为72°，因而每个角的度数为36°， 故选C ．6.【答案】D.【解析】如图③所示，正五边形ABCDE 的中心角为72°，各内角为108°，故五角星五个锐角均为48°．二、填空题 7．【答案】72°；【解析】α＝360°－90°－90°－108°＝72°．8．【答案】42；【解析】如图所示，△ABC 为等腰Rt △，242AC AB ==．9．1033； 【解析】过O 作OD ⊥BC 于D ，连接OB ，在Rt △BOD 中，BD ＝12BC ＝1102⨯＝5(cm)． ∠BOD ＝180603=°°，∴32BD OB =． ∴ BO ＝5103332=(cm)．10．【答案】54°；【解析】连接OB ，则OB=OA ，∴∠BAO=∠ABO，∵点O 是正五边形ABCDE 的中心，∴∠AOB==72°，∴∠BAO=（180°﹣72°）=54°；故答案为：54°．11．【答案】6a =5cm ，666P a ==30cm ，6532r =cm ，26753cm 2s =； 12．【答案】2：． 【解析】设正六边形的半径是r ，则外接圆的半径r ，内切圆的半径是正六边形的边心距，因而是，因而正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为2：．三、解答题13.【答案与解析】作AD ⊥BC 于D ．∵ △ABC 是正三角形，∴ 点O 在AD 上，a ＝BC ＝2CD ，∠OCD ＝30°， 在Rt △COD 中，112r OD OC ===，2222213CD OC OD =-=-=，∴ 223a BC CD ===，363P a ==． 又∵ AD ＝OA+OD ＝2+1＝3，∴ 112333322S BC AD ==⨯⨯=， ∴ 23a =，63P =，1r =，33S =．14.【答案与解析】 有错误，由正六边形的每个顶点外圆要转60°角，应转了10162R Rππ+=（圈）． 15.【答案与解析】解：连接OB ，OC ，OD ，∵等边△ABC 内接于⊙O，BD 为内接正十二边形的一边， ∴∠BOC=×360°=120°，∠BOD=×360°=30°， ∴∠COD=∠BOC﹣∠BOD=90°，∵OC=OD，∴∠OCD=45°，∴OC=5×=5（cm ）． 即⊙O 的半径R=5cm ．。