正多边形和圆练习
一、课前预习（5分钟训练）
2•圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n 边形的边长与半径之比（
有变化
2•正三角形的商、外接圆半径、边心距之比为（
C.4 ： 2 ； 1
4•中心角是45。

的正多边形的边数是 5•已知△ABC 的周K 为20,A ABC 的内切圆与边AB 相切于点D,AD=4,那么
BC=
二、课中强化（10分钟训练）
i. 若正n 边形的一个外角是一个内角的彳时，此时该正n 边形有
称轴.
2•同圆的内接正三角•形与内接正方形的边长的比是（
3•周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关
系 是（
4•已知OO 和OO 上的一点A （如图24-3-1）. （1）作OO 的内接正方形ABCD 和内接正六边形AEFCGH ；
⑵在⑴题的作图中，如果点E 在弧AD 上，求证：DE 是OO 内接正十二边形 的一边.
A •扩大了一倍
B •扩大了两倍
C •扩大了四倍
D •没
3•正•五边形共有
条对称轴，正六边形共有 条对称轴.
条对
>S4>S6
>S4>3 C>S3>S4 >S6>S3
图 24-3-1
三、课后巩固（30分钟训练）
1 ■正六边形的两条平行边之间的距离为1,则它的边长为（
二边形
3•已知正六边形的半径为3 cm,则这个正六边形的周长为 4•正多边形的一个中•心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于
度.
5•如图24-3-2.两相交圆的公共弦AB 为2® 在OOi 中为内接正三角形的一边,
在002中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比.
6•某正多边形的每个内角比其外角大100\求这个正多边形的边数.
2.已知正多边形的边心距与边长的比%,则此正多边形为（
B.正方形
A •正三角形
C •正六边形
D •正十
cm.
7•如图24-3-3r 在桌面上有半径为2 cm 的三个圆形纸片两两外切，现用一个大
圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆片的半•径最小应为多少
24-3-3
8•如图24-3-4.请同学们观察这两个图形是怎么画出来的并请同学们画出这个图
形（小组之间参与交流、评价）.
9•用等分圆周的方法画出下列图案:
10•如图24・3・6(1)、24-3-6(2). 24・3・6(3)、••八24・3・6(n), M 、N 分别是OO 的内接
正三角形ABC 、正方形ABCD 、正五边形ABCDE 、…、正n 边形ABCDE …的边
AB 、BC 上的点，H BM=CN,连结 OM 、
ON.
E '
(1)求图24-3-6(1)中Z MON 的度数;
(2) 图24-3-6(2)中Z MON 的度数是
,图24-3-6（3）中Z MON 的度数是
（3）试探究Z MON 的度数与正n 边形边数n 的关系（直接写出答案）.
参考答案
-X 课前预习（5分钟训练）
1思路解析: 山题意知•圆的半径扩大一倍，则相应的圆内接正n 边形的边长
也扩大一倍, 所以相应的圆内接正n 边形的边长与半径之比没有变化. 答案：D
2•思路解析:
如图，设正三角形的边长为a,则高AD=^a,外接圆半径
0A= —ar 边心距 OD 二所以 AD ： OA : 0D=3 : 2 : 1•答案：A 3 6 3•答案：5 6
4.思路解析：因为正n 边形的中心角为竺，所以45-=—,所以n=8.
n n
答案：8
5•思路解析:山切线长定理及三角形周长可得•答案:6
二.课中强化（W 分钟训练）
i .思路解析：因为正n 边形的外角为竺，一个内角为（"~2）・
18°° n
所以山题意得型1 = 2.（”-2）・180。

,解这个方程得Z5.答
案：5 n 3
A
E O
⑴ ⑵ ⑶
图 24-3-6
D
2. 思路解析：画图分析,分别求出正三角形、正方形的边长，知应选A.答案：A 3•思路解析：周长相等的正多边形的面积是边数越多面积越大•答案：B 4.思路分析：求作OO 的内接正六龙形和正方形，依据定理应将OO 的圆周六
等分、四等分，而正六边形的边长等于半径；互相垂直的两条直径由垂径定理知 把圆四等分•要证明DE 是00内接正十二边形的一边，山定理知，只需证明
DE
所对圆心角等于360°442 = 30°・
⑴作法：①作直径AC;②作直径BD 丄AC;
③ 依次连结A 、B 、C 、D 四点，
四边形ABCD 即为OO 的内接正方形；
④ 分别以A 、C 为圆心，OA 长为半径作弧，交OO 于E 、 ⑤ 顺次连结A 、E 、F 、C 、G 、H 各点.
六边形AEFCGH 即为OO 的内接正六边形・
(2)证明：连结0E 、DE.
360。

° 360。

°
•• Z AOD= ----- =90°, Z AOE= ------ =60°,
4 6 ••• Z DOE=Z AOD-Z AOE = 30\
・•・DE 为OO 的内接正十二边形的一边.
三、课后巩固（30分钟训练）
L •思路解析：正六边形的两条平行边之间的距离为1,所以边心距为，则边长
为拿答案:D
2•思路解析：将问题转化为直角三角形，山直角边的比知应选B.答案：B 3•答案：18 4•答案-144.
5思路分析：欲求两圆的面积之比，根据圆的面积计算公式，只需求出两圆的半
径R3 9R6的平方比即可.
H 、F 、G; C
解：设正三角形外接圆001的半径为R3,正六边形外接•圆OO2的半径为R6, 山题意得時丁AB, REB, g R6" ： 3..-.的面积：0的面积
=1 : 3.
6.解：设此正多边形的边数为n,则各内角为（"-2）・180°,外角为竺，依题
n
意得⑺_2）・180。

■竺=100。

解得n = 9・
n It
7•思路分析s设三个圆的圆心为01、02、03，连结0102、O2O3、O3O1，可得边长为4 cm的正△ 010203,设大圆的圆心为6则点0是正△010「203的中心，求出这个正^ 010203外接圆的半径，再加上OO1的半径即为所求.
解：设三个圆的圆心为01、02、03,连结0102、0203、0301,可得边长为4 cn.的正△ 0x0.03,则正△ 046外接圆的半径为半cm,所以大圆的半径
为晋+2=字如
8•如图24-3-4.请同学们观察这两个图形是怎么画出来的并请同学们画出这个图形（小组之间参与交流、评价）.
答案：略.
9•用等分圆周的方法画出下列图案
:
E '
图 24-3-5
(3) 试探究Z MON 的度数与正n 边形边数n 的关系(直接写出答案).
答案:(1)方法一：连结OB 、OC ・
•••正△ABC 内接于 OO, ..ZO BM=ZO CN = 30\ Z .BOC=120\ 乂••• BM=CN, OB=OC, ••• △ OBM 浜△ OCNJ. Z BOM = Z CON.
••• Z MON=Z BOC=120\
方法1：连结OA 、OB ；/正△ABC 内接于OO,
AB=ACr ZOAM=ZOBN=30",Z AOB=120\乂T BM = CN,二 AM=BN ・
•・• OA=OB,・・・△ AOM^ △ BON./. Z AOM=Z BON./. Z MON=Z AOB=120\ 360°
(2)90° 72° (3)Z MON= ---- •
n
作法:(1)分别以圆的4等分点为圆心，以圆的半径为半径，画4个圆;
(2)分别以圆的6等分点为圆心，以圆的半径画弧.
20•如图 24・3・6(1)、24-3-6(2). 24・3・6(3)、…、24-3-6(n), M 、 N 分别是OO 的内接
正三角形ABC 、正方形ABCD 、正五边形ABCDE 、…、正 n 边形ABCDE …的边
AB 、BC 上的点，且BM 二CN,连结OM 、ON.
® 0
(0
(1)求图24-3-6(1)中Z MON 的度数; (2)图24-3-6(2)中Z MON 的度数是
,图24-3-6(3)中Z MON 的度数是
D
D。