表 细长压杆临界力与杆端支承的关系
两端铰支
Fcr
L l 相当（折算）长度
（与支承有关的）长度系数
Fcr
π 2 EI
L 2
l
EI
L 1l
O
一端固定一端自由
Fcr
一端固定一端铰支
Fcr
两端固定
Fcr
L 0.7l
l
EI
l
EI L 0.5l
O
O
EI l
L 2l
O
图示材料相同，直径相同的四根细长圆杆， （ ）杆能承受的压力最大。
Fcr=?
●其它构件的稳定性问题
深梁失稳
薄壁圆管失稳
压杆稳定
Stability of Compressed Columns
2 细长压杆的临界力
2.1 两端铰支细长压杆的临界力——欧拉公式
临界状态： 微弯状态的平衡 杆的任一横截面上的弯矩：
x Fcr
Fcr wM x
Fcr
M x Fcrw
EI
l
cr F
A
cr
1 安全系数法
cr
nst
cr
nst：稳定安全系数
[cr]：稳定许用应力
稳定条件：
F A
cr
例5： 图示结构中，支承柱CD的直径d=20mm，
材料为A3钢，A、C、D三铰均为球铰。已知： P=25kN，l1=1.25m，l2=0.55mm，E=106 GPa，规定 的稳定安全系数nst=2.0，试校核CD杆是否安全。
压杆稳定
1 压杆稳定性的概念 2 细长压杆的临界力 3 压杆的柔度与压杆的非弹性失稳 4 压杆的稳定计算 5 提高压杆稳定性的措施
压杆稳定
1 压杆稳定的概念 2 铰支细长压杆的临界力 3 其它支承情况下细长压杆的临界力 4 临界应力 欧拉公式的适用范围 5 压杆稳定的实用计算 稳定条件 6 提高压杆稳定性的措施
cr
a bL
L
p
cr
s
s L L cr s
p
E
p
s
E
s
s p
强度
cr
稳定性
s D
p
C
O s p
临界应力总图
cr
f L
g
L
L L
cr cr
p p
cr
235 D
p
O
cr a b 2
cr
2E 2
C
B
p
5 压杆稳定的实用计算 稳定条件
临界应力 实际应力 危险状态
l
Iy Iz
198 .3 25.6 12.74(1.52 a / 2)2 a4.32cm
求临界力：
l 0.7 6
i
Iz
2 A1
0.7 6
106.5
396.6 108
2 12.74 104
p
2E P
2 200109
200106
99.3
大柔度杆，由欧拉公式求临界力
Fcr
2EI (l)2
2 200 396.6 10
(0.7 6)2
443.8kN
3 临界应力 欧拉公式的适用范围
一、压杆应力
计算临界力的欧拉公式：
Fcr
2EI
l 2
临界应力:
cr
Fcr A
2EI
l2 A
A：杆的横截面面积
cr
Fcr A
2EI
l2 A
I i2 A
I i A
i:惯性半径
w
x
O
y
Fcr
压杆稳定
Stability of Compressed Columns
M x Fcrw x
另一方面：
Fcr
w M x
EI
w Fcr w EI
EI
l
w
令： Fcr k 2 EI
w k 2w 0
x
O
y
——微弯弹性曲线的微分方程
FR
（常系数齐次线性微分方程）
压杆稳定
Stability of Compressed Columns
材料、直径不变
Fcr l/2 EI
Fcr l/4 EI
Fcr
π 2 EI
2l 2
……
例3 图示立柱，L=6m，由两根10号槽钢组成，
已知E=200GPa， p=200MPa ，下端固定，上端为球
铰支座，试问 a=？时最合理，此时立柱的临界压力 值为多少？
F
L
a
I
Iz
y
Iy
z
a
解：对于单个10号槽钢，形心在C1点。
Iz
1 ba3 12
出平面： 2 2
Iy
1 12
ab3
l 4m
a=0.12m
b 0.2m
y
z
解： 在平面
z
1l
iz
0.5 4 0.5 4 2
Iz
0.12
3
57.8
A
出平面
F l 4m
y
2l
iy
24 Iy
242 3 0.2
138
a=0.12m
A
b 0.2m
y
Fcr
2E 2
A
2 1010 138 2
F
A1 12.74cm2 z0 1.52cm
I z1 198 .3cm4
I y1 25.6cm4
a
两根槽钢图示组合之后，
C1 z1(z) I z 2I z12198 .3396 .6cm4
z0
y
y1
I y 2[I y1 A1(z0 a / 2)2 ]
2[25.6 12.74 (1.52 a / 2)2 ]
EI O
k 0.7
l
Fcr A
B
0k
0.7 2
Fcr
EI l
O
k 0 2
压杆稳定
Stability of Compressed Columns
2.3 关于欧拉公式的几点讨论 (1) 在哪一个平面内失稳？ (2) 在哪一个杆段失稳？ (3) 弹性支承处理?
(4) 欧拉公式的适用范围？
Fcr l EI
y O(A) FR
压杆稳定
Stability of Compressed Columns
临界力:
n2π2 Fcr l 2 EI
（n=0，1，2，…）
位移函数: w Asin nπ x
x
l
A为压杆中点的挠度，可以是任意的微小值 Fcr
Timoshenko, S. Theory of Elastic Stability, p.70-74,
x
Fcr
FCr
Fcr
π 2 EI (2l ) 2
l
O
y
图1
两端固支
l
Fcr ?
图2
压杆稳定
Stability of Compressed Columns
x Fcr
x
Fcr
Fcr
l
EI
A
C
l EI
O y 2l
l
l/2
O
y
Ll
L 2l
Fcr
π 2 EI l 2 Fcr
π 2 EI
L 2
Fcr
π 2 EI
d 2w dx2
M x
EI
1
x
1
d 2w
dw
dx2
dx2
3
2
Fcr
EI
l
w
x
1
x
M x
EI
E
O
w
欧拉公式成立的条件：
Fcr
当压杆所受的压力达到临界力时，材料仍应服
从胡克定律。
cr p
2E 2
p
E p
E
p
p
p
E
p
欧拉公式的适用范围的数学表达式:
p 大柔度杆
例4：图示细长压杆(p=123)，
§1
强度 稳定性 ●稳定的概念 纵弯曲
压杆稳定性的概念
关系 ?
P=30N
FN
A
1000
P1=6kN
30
压杆丧失稳定性，即失稳
所谓压杆的稳定，是指受压杆件保持其原有平衡状 态的能力。
工
程
连杆失稳
实
例
1907年8月29日，正在施工中的加拿大魁北克市 圣劳伦斯河大铁桥突然全桥坍塌，桥上的74人全部 遇难。事故调查分析结果表明，它是桥下弦压杆稳 定性不够造成的。
y
y z
压杆稳定
Stability of Compressed Columns
2.3 关于欧拉公式的几点讨论 (1) 在哪一个平面内失稳？ ①球铰
② 柱铰
y
z
对称
x
xOy面内： 两端铰支 xOz面内： 两端固支
y z
x
Fcr
π 2 EI
l 2
min
Iy
2 y
,
Iz
z2
思考：图示为由两个型号相同的不等边角钢组成的
问题2：篮球比赛中的推人
是要判犯规的，但如果对方
处于腾空状态，则可能被判
违体（违反体育道德）犯规，
为什么？
Fcr
π 2 EI l2
压杆稳定
Stability of Compressed Columns
2.2 临界力与杆端支承的关系
例1 一端固定另一端自由（图1 ）的等截面受压
杆，杆长为l，杆在xOy平面内的弯曲刚度为EIz， 试推导此杆的临界力计算公式。