2020年六安一中高考数学模拟试卷(理科)(四)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U={1,3，5，7，9，11}，A={1,3}，B={9,11}，则(∁U A)∩B=()A. {1}B. {1,3}C. {9,11}D. {5,7，9，11}2.已知复数z1=1+2i,z2=1−i则z1z2=()A. −12−32i B. −12+32i C. 12−32i D. 12+32i3.在等差数列{a n}中，a1=21，a7=18，则公差d=()A. 12B. 13C. −13D. −124.执行如图所示的程序框图，输出的结果是()A. 20122013B. 20132014C. 20142015D. 15.函数f(x)=x3−x的奇偶性为()A. 奇函数B. 偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 非奇非偶函数6.已知x，y的取值如表：x01234y1 1.3 3.2 5.68.9若依据表中数据所画的散点图中，所有样本点(x i,y i)(i=1,2，3，4，5)都在曲线y=12x2+a附近波动，则a=()A. 1B. 12C. 13D. −127.若变量x，y满足约束条件{x+y≤4x−y≤2x≥0,y≥0，则2x+y的最大值是()A. 2B. 4C. 7D. 88. 已知双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，在左支上过F 1的弦AB 的长为10，若2a =16，则△ABF 2的周长是( )A. 32B. 36C. 42D. 529. 某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )A. πB. 4π3 C. 5π3 D. 2π10. 四棱锥P −ABCD 中，ABCD 是正方形，PA =AB =PB =√6，且面PAB ⊥面ABCD ，则四棱锥P −ABCD 的外接球表面积为( )A. 8πB. 10πC. 12πD. 14π11. 在ΔABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b =2，a(2sinB −√3cosC)=√3ccosA ，点D 是边BC 的中点，且AD =√3，则ΔABC 的面积为( )A. 2√3或3√34B. √32或√3 C. √3或2√3D. 3√34或√3 12. 定义在(0,+∞)上的函数f (x )满足xf′(x )=1+x ，且f (1)=2，不等式f (x )≥(a +1)x +1有解，则正实数a 的取值范围是( )A. (0,√e]B. (0,√e)C. (0,1e ]D. (0,1e )二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在(x −1)4(1−2x)2的展开式中，含x 3项的系数是______．14. 如图，在直角梯形ABCD 中，已知AB//DC ，AB ⊥AD ，AB =2，AD =1，E 为BC 的中点，若AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为______． 15. 已知函数f (x )=Mcos (ωx +φ)(M >0,ω>0)的部分图象如图所示，其中A (π18,4)，B (2π9,0)(其中A 是该图象的最高点)，则函数f(x)在(−2π3,−π2)的值域为 ．16.抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，已知经过F的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若F是线段AB的中点，则|AB|=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和为S n(n∈N∗)，满足S n=2a n−1．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设数列{a n}的前n项积为T n，求T n．18.某学校为了解高三复习效果，从高三第一学期期中考试成绩中随机抽取50名考生的数学成绩，分成6组制成频率分布直方图如图所示：(1)求m的值；并且计算这50名同学数学成绩的样本平均数x；(2)该学校为制定下阶段的复习计划，从成绩在[130,150]的同学中选出3位作为代表进行座谈，记成绩在[140,150]的同学人数位ξ，写出ξ的分布列，并求出期望．19.在多面体AFCDEB中，BCDE是边长为2的正方形，CF//AB，平面ABCF⊥平面BCDE，AB=2FC=2，AB⊥CE．(1)求证：BD⊥平面CFE；(2)求直线EF与平面ADF所成角的正弦值．20.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F2(1,0),离心率为e=12.(1)求椭圆的方程:(2)设直线y=kx+1与椭圆相交于A.B两点.M,N分别为线段AF2,BF2的中点,若坐标原点O在以MN为直径的圆上,求k的值.21. 已知函数f(x)=ax 2+ax −xe x ，a >1．( I)若曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y =x ，求a 的值；(II) 证明：当x <0时，函数f(x)存在唯一的极小值点为x 0，且−12<x 0<0．22. 在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为{x =2ty =12+√3t (t 为参数)，曲线C 1：为参数)．(1)求直线l 及曲线C 1的极坐标方程；(2)若曲线C 2:θ=π3(ρ∈R)与直线l 和曲线C 1分别交于异于原点的A ，B 两点，求|AB|的值．23. (1)已知a ，b 为正实数，且4a +b −ab +2=0，求ab 的最小值．(2)设0<m <12，求1m +112−m 最小值．【答案与解析】1.答案：C解析：解：全集U={1,3，5，7，9，11}，A={1,3}，B={9,11}，则∁U A={5,7，9，11}，∴(∁U A)∩B={9,11}．故选：C．根据补集与交集的定义，写出(∁U A)∩B．本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．2.答案：B解析：本题考查复数的四则运算。

解：复数z1=1+2i,z2=1−i则z1z2=1+2i1−i=(1+2i)(1+i)2=−1+3i2故答案为B．3.答案：D解析：解：由等差数列的通项公式可得a7=a1+6d，∴18=21+6d，解得d=−12．故选：D．利用等差数列的通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题．4.答案：B解析：解：模拟程序的运行，可得共循环2013次，由裂项求和得S=11×2+12×3+⋯+12013×2014=1−12014=20132014．故选：B．根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出S 的值．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法，属于基础题．5.答案：A解析：函数定义域为R ，f(−x)=(−x)3−(−x)=−x3+x=−(x3−x)=−f(x)，∴f(x)是奇函数．6.答案：A解析：本题考查的知识点是线性回归直线的性质，由线性回归直线方程中系数的求法，我们可知(x −,y −)在回归直线上，满足回归直线的方程，我们根据已知表中数据计算出(x −,y −)，再将点的坐标代入回归直线方程，即可求出对应的a 值．属于基础题．令t =x 2，则回归直线方程为y =12t +a ，求得t −和y −，代入回归直线y =y =12t +a ，求得a 的值． 解：由y =12x 2+a ，将t =x 2，则所有样本点(x i ,y i )(i =1,2，3，4，5)都在直线y =12t +a ， 则t −=0+1+4+9+165=6，y −=1+1.3+3.2+5.6+8.95=4，将(6,4)代入回归方程求得a =1， 故选A ．7.答案：C解析：解：满足约束条件{x +y ≤4x −y ≤2x ≥0,y ≥0的可行域如下图中阴影部分所示：∵目标函数Z=2x+y，∴Z O=0，Z A=4，Z B=7，Z C=4，故2x+y的最大值是7，故选：C．本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件{x+y≤4 x−y≤2 x≥0,y≥0的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值．用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组(方程组)寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．8.答案：D解析：解：由双曲线的定义可得AF2−AF1=2a，BF2−BF1=2a，∴AF2+BF2−AB=4a=32，即AF2+BF2−10=32，AF2+BF2=42．△ABF2(F2为右焦点)的周长是(AF1+AF2)+(BF1+BF2)=(AF2+BF2)+AB=42+10=52．故选：D．由双曲线的定义可得AF2+BF2=42，△ABF2的周长是(AF1+AF2)+(BF1+BF2)=(AF2+BF2)+AB，计算可得答案．本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出AF2+BF2=42是解题的关键．9.答案：B解析：解：三视图复原的几何体是下部是半球，半径为：1，上部是圆锥，底面半径为1，高为：2，几何体的体积为：12×43π×13+13π×12×2=4π3．故选：B．判断三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查计算能力．10.答案：D解析：本题考查了球的表面积和体积，P −ABCD 的外接球与三棱柱PAB −EDC 外接球相同，R =OP =√OO 12+O 1P 2计算即可．解：P −ABCD 的外接球与三棱柱PAB −EDC 外接球相同， 球心位于上、下底面中心连线段中点O 处，，所以，故选D ．11.答案：C解析：本题考查两角和与差的三角函数、正弦定理、余弦定理、面积公式在解三角形中的应用，考查运算求解能力，属中档题． 由正弦定理变形已知式子，求得，则A = π 3或由AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，得，两种情况求得c ，代入面积公式秋季．解：∵a(2sinB −√3cosC)=√3ccosA ， ∴由正弦定理得，，即，，∴sinB ≠0，则，，∴A = π 3或． 又，因为AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，所以AD 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2， 即， 当A = π 3，b =2，所以c =2， 当A = 2π 3，b =2，所以c =4，所以△ABC 的面积为12bcsinA =√3或2√3．故选C ．12.答案：C解析：本题考查抽象函数及应用，考查导数的应用，属于中档题．由题意设，将f(1)=2，代入f(x)可得c =1，即f(x)=lnx +x +1，原不等式即有解，化为，设，x >0，利用导数求解最大值即可． 解：定义在上的函数f(x)满足xf ′(x)=1+x ，则f ′(x)=1x +1， 设，因为f(1)=2，代入f(x)可得c =1，即f(x)=lnx +x +1，不等式f(x)⩾(a +1)x +1有解，即有解，化为有解，即， 设，x >0，则， 令g′(x )>0，解得0<x <e ，令g′(x )<0，解得x >e ，所以当x =e 时，g(x)取得最大值1e ，则正实数a 的取值范围是(0,1e ]．故选C ．13.答案：−44解析：解：∵(x −1)4(1−2x)2=(x −1)4(1−4x +4x 2)，∴在(x −1)4(1−2x)2的展开式中，含x 3项为C 41x 3(−1)1⋅1+C 42x 2(−1)2⋅(−4x)+C 43x(−1)3⋅(4x 2)=−44x 3，∴含x 3项的系数是−44．故答案为：−44．由(x −1)4(1−2x)2=(x −1)4(1−4x +4x 2)，本题考查二项式定理的应用，考查运算求解能力，是基础题．14.答案：−52解析：本题考查向量的坐标运算，主要考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题． 解：以A 点为原点，AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，∵AB =2，AD =1，E 为BC 中点，∴A(0,0)，B(2,0)，D(0,1)，设C(x,1)，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,1)， ∵AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2， ∴2x =2，解得x =1，∴C(1,1)，∵E 为BC 中点，∴E(1+22,0+12)，即为(32,12)，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,12)，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1)， ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32×(−2)+12×1=−52． 故答案为−52．15.答案：(2,4]解析：本题考查三角函数的图像性质，属于中档题．由图可知M =4，T 4=π6，可得f (x )=4cos (3x +φ)，根据三角函数的图像性质即可求出值域． 解：依题意，M =4，T 4=π6，解得T =2π3， 故ω=3，故f (x )=4cos (3x +φ)，将A (π18,4)代入f(x)中，得3×π18+φ=2kπ，(k ∈Z)，故φ=−π6+2kπ(k ∈Z)，即f (x )=4cos (3x −π6)，则当x ∈(−2π3,−π2)时，3x ∈(−2π,−3π2)， 即3x −π6∈(−13π6,−5π3)， 则cos (3x −π6)∈(12,1],故f (x )∈(2,4]．16.答案：8解析：解：抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F(1,0)，准线为l ，已知经过F 的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ，可得B(3,±2√3)，所以|FB|=4，则|AB|=2|FB|=8．故答案为：8．利用抛物线的性质，求出B的坐标，然后求解|BF|，即可得到|AB|的值．本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线的定义的应用，考查计算能力．17.答案：解：(Ⅰ)由S n=2a n−1可得，当n=1时，a1=S1=2a1−1，即有a1=1；当n≥2时a n=S n−S n−1，a n=2a n−2a n−1，即a n=2a n−1，则数列{a n}为首项为1，公比为2的等比数列，即a n=2n−1，n∈N∗．(Ⅱ)Tn =a1⋅a2⋅a3…a n=20+1+2+3+⋯+(n−1)=2n(n−1)2．解析：(Ⅰ)运用数列的递推式：当n=1时，a1=S1，当n≥2时a n=S n−S n−1，结合等比数列的定义和通项公式，即可得到所求；(Ⅱ)运用指数的运算性质和等差数列的求和公式，计算即可得到所求．本题考查数列的递推式和等比数列的定义和通项公式的运用，考查运算能力，属于中档题．18.答案：(Ⅰ)m=0.008，121.8(Ⅱ)见解析解析：试题分析：(1)由(0.004+0.012+0.024+0.04+0.012+m)×10=1解得m=0.008，根据各矩形中点横坐标与纵坐标的积求和即可得到该校50名学生成绩的平均值；(2)成绩在[130,140)的同学人数为6，成绩在[140,150)人数为4，，ξ的可能取值为0,1,2,3,4，根据排列组合知识求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得X的数学期望．试题解析：(1)由题(0.004+0.012+0.024+0.04+0.012+m)×10=1解得m=0.008x=95×0.004×10+105×0.012×10+115×0.024×10+125×0.04×10+135×0.012×10+145×0.008×10=121.8(2)成绩在[130,140)的同学人数为6，成绩在[140,150)人数为4，P (ξ=0)=C 40C 63C 103=16，P (ξ=1)=C 41C 62C 103=12，P (ξ=2)=C 42C 61C 103=310，P (ξ=3)=C 43C 60C 103=130所以ξ的分布列为Eξ=0×16+1×12+2×310+3×130=65.19.答案：证明：(1)∵BCDE 是正方形，∴BE ⊥BC ，BD ⊥CE ，∵平面ABCF ⊥平面BCDE ，平面ABCF ∩平面BCDE =BC ，∴BE ⊥平面ABCF ，∴BE ⊥AB ，∵AB ⊥CE ，BE ∩CE =E ，∴AB ⊥平面BCDE ，∵CF//AB ，∴CF ⊥平面BCDE ，∴CF ⊥BD ，∵CF ∩CE =C ，∴BD ⊥平面CFE ．解：(2)以B 为原点，向量BC⃗⃗⃗⃗⃗ ,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系， 则E(0,2，0)，F(2,0，1)，A(0,0，2)，D(2,2，0)，则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,1)，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−2,2)，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,1)，设平面ADF 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2y +z =0n ⃗ ⋅DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x −2y +2z =0， 取y =1，得n⃗ =(1,1，2)，设直线EF 与平面ADF 所成角为θ，则sinθ=|n ⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|EF |=√6⋅√9=√69． ∴直线EF 与平面ADF 所成角的正弦值为√69．解析：本题考查线面垂直的证明，考查线面角正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．(1)推导出BE ⊥BC ，BD ⊥CE ，从而BE ⊥平面ABCF ，进而BE ⊥AB ，再由AB ⊥CE ，得AB ⊥平面BCDE ，从而CF ⊥平面BCDE ，进而CF ⊥BD ，由此能证明BD ⊥平面CFE ．(2)以B 为原点，向量BC⃗⃗⃗⃗⃗ ,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线EF 与平面ADF 所成角的正弦值．20.答案：解：(1)由题意得{c =1c a =12得 a =2，所以a 2=4，结合a 2=b 2+c 2，解得b 2=3，所以，椭圆的方程为x 24+y 23=1， (2)由{x 24+y 23=1y =kx +1消去得：(3+4k 2)x 2+8kx −8=0， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，所以x 1+x 2=−8k 3+4k 2x 1x 2=−83+4k 2，依题意知，OM ⊥ON ，且M(x 1+12,y 12)，N(x 2+12,y 22)， ∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+12,y 12)⋅(x 2+12,y 22)=x 1+12⋅x 2+12+y 12⋅y 22=0， 即(x 1+1)(x 2+1)+(k x 1+1)(k x 2+1)=0，整理得：(1+k 2)x 1x 2+(1+k)(x 1+x 2)+2=0，所以(1+k 2)⋅−83+4k 2+(1+k)⋅−8k3+4k 2+2=0，整理得：4k 2+4k +1=0 所以k =−12．解析：(1)由题意得{c =1c a =12得 a =2，再结合a 2=b 2+c 2，可求得b 2，从而可得椭圆的方程；(2)由椭圆的方程与直线的方程y =kx +1联立，得：(3+4k 2)x 2+8kx −8=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由中点坐标公式求出M ，ND ，再OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0即可求得k 的值．本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力，属于难题．21.答案：解：(I)因为f(x)=ax 2+ax −xe x ，得f′(x)=2ax +a −e x −xe x ，所以f′(0)=a −1．因为曲线在点(0,f(0))处的切线方程为y =x ，所以f′(0)=a −1=1，即a =2；(II)证明：设ℎ(x)=2ax +a −e x −xe x ，则ℎ′(x)=2a −2e x −xe x =2a −(x +2)e x ．因为x <0，所以x +2<2，e x <1．又因为a >1，所以 ℎ′(x)>0，故ℎ(x)=a(2x +1)−e x (1+x)在(−∞,0)上为增函数．又因ℎ(0)=a −1>0，ℎ(−12)=−12e −12<0， 由零点存在性定理，存在唯一的x 0∈(−12,0)，有ℎ(x 0)=0．当x ∈(−∞,x 0)时，ℎ(x)=f′(x)<0，即f(x)在(−∞,x 0)上为减函数，当x ∈(x 0,0)时，ℎ(x)=f′(x)>0，即f(x)在(x 0,0)上为增函数，所以x 0为函数f(x)的极小值点．解析：本题考查函数与导数的运用，切线方程，函数零点存在定理求极值点，考查运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题．(I)求f(x)的导数，可得切线的斜率，由已知切线的方程可得a 的方程，解方程可得a 的值； (II)设ℎ(x)=2ax +a −e x −xe x ，求得导数和单调性，运用零点存在定理即可．22.答案：解：(1)由{x =2t y =12+√3t ，得直线l 的一般方程为√3x −2y +24=0， 直线l 的极坐标方程为， 曲线C 1的标准方程为x 2+(y −2)2=4，即ρ2−4ρsinθ=0，可得曲线C 1的极坐标方程：ρ=4sinθ；(2)将θ=π3分别代入和得ρA =16√3，ρB =2√3， 所以|AB|=|ρA −ρB |=|16√3−2√3|=14√3．解析：本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，是基础题．(1)分别化直线与圆的参数方程为普通方程，进一步化为极坐标方程；(2)把曲线θ=π3分别代入直线l和曲线C1的极坐标方程，求出A，B的极径，由|AB|=|ρA−ρB|可得结果．23.答案：(1)解：因为a，b为正实数，且4a+b−ab+2=0，所以ab−2=4a+b≥2√4ab=4√ab，当且仅当b=4a时取等号，解可得√ab≥2+√6即ab≥10+4√6，此时a=2+√62，b=4+2√6，故ab的最小值为10+4√6．(2)解：∵0<m<12，∴12−m>0，则1m +112−m=(1m+112−m)(m+12−m)×112=112(2+12−mm+m12−m)≥112(2+2)=13，当且仅当12−mm =m12−m即m=6时取等号．故1m +112−m的最小值为13．解析：(1)本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题．由已知结合基本不等式即可直接求解．(2)本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．。