2017年湖南省长沙一中高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={y|y=log2x，x＞1}，B={x|y=}，则A∩B=（）A．{y|0＜y＜} B．{y|0＜y＜1} C．{y|＜y＜1} D．∅2．若复数的实部与虚部相等，则实数a的值为（）A．3 B．﹣3 C． D．﹣3．已知a=log0.55、b=log32、c=20.3、d=（）2，从这四个数中任取一个数m，使函数f（x）=x3+mx2+x+2有极值点的概率为（）A．B．C．D．14．如图，若N=10，则输出的数等于（）A．B．C．D．5．经过点（1，），渐近线与圆（x﹣3）2+y2=1相切的双曲线的标准方程为（）A．x2﹣8y2=1 B．2x2﹣4y2=1 C．8y2﹣x2=1 D．4x2﹣2y2=16．已知三棱锥A﹣BCD的各棱长都相等，E为BC中点，则异面直线AB与DE所成角的余弦值为（）A．B．C．D．7．已知函数f（x）=（sinx+cosx）cosx，则下列说法正确的为（）A．函数f（x）的最小正周期为2πB．f（x）在[，]单调递减C．f（x）的图象关于直线x=﹣对称D．将f（x）的图象向右平移，再向下平移个单位长度后会得到一个奇函数的图象8．已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣n，正项等比数列{b n}中，b2=a3，b n+3b n﹣1=4（n≥2）n∈N+，则log2b n=（）A．n﹣1 B．2n﹣1 C．n﹣2 D．n9．已知实数x，y满足时，z=（a≥b＞0）的最大值为1，则a+b的最小值为（）A．7 B．8 C．9 D．1010．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（）A．8+8+4B．8+8+2C．2+2+D． ++11．若∀x∈R，函数f（x）=2mx2+2（4﹣m）x+1与g（x）=mx的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围为（）A．（0，4] B．（0，8）C．（2，5）D．（﹣∞，0）12．已知函数f（x）=，若对任意的x∈[1，2]，f′（x）•x+f（x）＞0恒成立，则实数t的取值范围是（）A．（﹣∞，] B．（﹣∞，）C．（﹣∞，] D．[，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在△ABC中，P为中线AM上的一个动点，若||=2，则•（+）的最小值为．14．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣a+2）2=1，点A（0，﹣3），若圆C上存在点M，满足|AM|=2|MO|，则实数a的取值范围是．15．已知等比数列{a n}的首项为，公比为﹣，前n项和为S n，则当n∈N*时，S n﹣的最大值与最小值之和为．16．如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB 是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，则梯形周长的最大值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x+，x∈R．（1）若∀x∈[，]，f（x）﹣m=0有两个不同的根，求m的取值范围；（2）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f（B）=，b=2，且sinA、sinB、sinC成等差数列，求△ABC的面积．18．某大学在开学季准备销售一种盒饭进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该盒饭获利润10元，未售出的产品，每盒亏损5元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该同学为这个开学季购进了150盒该产品，以x（单位：盒，100≤x≤200）表示这个开学季内的市场需求量，y（单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润．（Ⅰ）根据直方图估计这个开学季内市场需求量x的平均数和众数；（Ⅱ）将y表示为x的函数；（Ⅲ）根据频率分布直方图估计利润y不少于1350元的概率．19．已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的下底面是边长为4的正方形，AA1=4，且AA1⊥面ABCD，点P为DD1的中点，点Q在BC上，BQ=3QC，DD1与面ABCD所成角的正切值为2．（Ⅰ）证明：PQ∥面A1ABB1；（Ⅱ）求证：AB1⊥面PBC，并求三棱锥Q﹣PBB1的体积．20．已知过点P（﹣1，0）的直线l与抛物线y2=4x相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点．（Ⅰ）求直线l倾斜角的取值范围；（Ⅱ）是否存在直线l，使A、B两点都在以M（5，0）为圆心的圆上，若存在，求出此时直线及圆的方程，若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=lnx﹣ax2+（2﹣a）x．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=﹣2，对任意给定的x0∈（0，e]，方程f（x）=g（x0）在（0，e]有两个不同的实数根，求实数a的取值范围．（其中a∈R，e=2.71828…为自然对数的底数）．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为9ρ2cos2θ+16ρ2sin2θ=144，且直线l与曲线C交于P，Q两点．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程及直线l恒过的顶点A的坐标；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若|AP|•|AQ|=9，求直线l的普通方程．选修4-5：不等式选讲23．设函数f（x）=|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当a=2时，解不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤4的解集为[﹣1，7]，且两正数s和t满足2s+t=a，求证：．2017年湖南省长沙一中高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={y|y=log2x，x＞1}，B={x|y=}，则A∩B=（）A．{y|0＜y＜} B．{y|0＜y＜1} C．{y|＜y＜1} D．∅【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出集合的等价条件，结合交集运算进行求解即可．【解答】解：A={y|y=log2x，x＞1}={y|y＞0}，B={x|y=}={x|1﹣2x＞0}={x|x＜}，则A∩B={y|0＜y＜}，故选：A2．若复数的实部与虚部相等，则实数a的值为（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、实部与虚部的定义即可得出．【解答】解：复数==+i的实部与虚部相等，∴=，解得a=﹣．故选：D．3．已知a=log0.55、b=log32、c=20.3、d=（）2，从这四个数中任取一个数m，使函数f（x）=x3+mx2+x+2有极值点的概率为（）A．B．C．D．1【考点】6D：利用导数研究函数的极值；CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】求出函数的导数，根据函数的极值点的个数求出m的范围，通过判断a，b，c，d 的范围，得到满足条件的概率值即可．【解答】解：f′（x）=x2+2mx+1，若函数f（x）有极值点，则f′（x）有2个不相等的实数根，故△=4m2﹣4＞0，解得：m＞1或m＜﹣1，而a=log0.55＜﹣2，0＜b=log32＜1、c=20.3＞1，0＜d=（）2＜1，满足条件的有2个，分别是a，c，故满足条件的概率p==，故选：B．4．如图，若N=10，则输出的数等于（）A．B．C．D．【考点】EF：程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=++…+的值，由裂项法即可计算得解．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=S=++…+的值，又由：S=++…+=（1﹣）+（）+…+（﹣）=1﹣=．故选：C．5．经过点（1，），渐近线与圆（x﹣3）2+y2=1相切的双曲线的标准方程为（）A．x2﹣8y2=1 B．2x2﹣4y2=1 C．8y2﹣x2=1 D．4x2﹣2y2=1【考点】KB：双曲线的标准方程．【分析】设双曲线的渐近线方程为mx±ny=0（m＞0，n＞0），利用渐近线与圆（x﹣3）2+y2=1相切，可得渐近线方程，设出双曲线方程，代入点（1，），即可得出结论．【解答】解：设双曲线的渐近线方程为mx±ny=0（m＞0，n＞0）∵渐近线与圆（x﹣3）2+y2=1相切，∴=1，∴n=2m，∴渐近线方程为x±2y=0∴双曲线方程设为x2﹣8y2=λ，代入点（1，），可得λ=1﹣2=﹣1，∴双曲线方程为8y2﹣x2=1．故选：C．6．已知三棱锥A﹣BCD的各棱长都相等，E为BC中点，则异面直线AB与DE所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】取AC中点O，连结DO，EO，则EO∥AB，从而∠DEO是异面直线AB与DE所成角（或所成角的补角），由此利用余弦定理能求出异面直线AB与DE所成角的余弦值．【解答】解：取AC中点O，连结DO，EO，∵三棱锥A﹣BCD的各棱长都相等，E为BC中点，∴EO∥AB，∴∠DEO是异面直线AB与DE所成角（或所成角的补角），设三棱锥A﹣BCD的各棱长为2，则DE=DO==，OE=1，∴cos∠DEO===．∴异面直线AB与DE所成角的余弦值为．故选：B．7．已知函数f（x）=（sinx+cosx）cosx，则下列说法正确的为（）A．函数f（x）的最小正周期为2πB．f（x）在[，]单调递减C．f（x）的图象关于直线x=﹣对称D．将f（x）的图象向右平移，再向下平移个单位长度后会得到一个奇函数的图象【考点】H1：三角函数的周期性及其求法；H5：正弦函数的单调性．【分析】化函数f（x）为正弦型函数，再判断选项中的命题是否正确．【解答】解：函数f（x）=（sinx+cosx）cosx=sinxcosx+cos2x=sin2x+=（sin2x+cos2x）+=sin（2x+）+，∴f（x）的最小正周期为T==π，∴A错误；x∈[，]时，2x+∈[，]，f（x）是单调递增函数，∴B错误；当x=﹣时，f（x）=sin（﹣+）+=sin（﹣）+，∴x=﹣不是f（x）的对称轴，C错误；将f（x）的图象向右平移，得y=sin2[（x﹣）+]+的图象，再向下平移个单位长度得y=sin2x的图象，它是奇函数，D正确．故选：D．8．已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣n，正项等比数列{b n}中，b2=a3，b n+3b n﹣1=4（n≥2）n∈N+，则log2b n=（）A．n﹣1 B．2n﹣1 C．n﹣2 D．n【考点】8H：数列递推式．【分析】利用a3=S3﹣S2，即可得到log2b2．验证可知A，B，C均不符合，即可得出．【解答】解：∵a3=S3﹣S2=（32﹣3）﹣（22﹣2）=4，∴b2=a3=4，log2b2=log24=2．验证可知A，B，C均不符合，故答案为D．9．已知实数x，y满足时，z=（a≥b＞0）的最大值为1，则a+b的最小值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的最大值，确定最优解，然后利用基本不等式进行判断．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=（a≥b＞0）得y=，则斜率k=，则由图象可知当直线y=经过点B（1，4）时，直线y=的截距最大，此时，则a+b=（a+b）（）=1+4+，当且仅当，即b=2a取等号此时不成立，故基本不等式不成立．设t=，∵a≥b＞0，∴0＜≤1，即0＜t≤1，则1+4+=5+t+在（0，1]上单调递减，∴当t=1时，1+4+=5+t+取得最小值为5+1+4=10．即a+b的最小值为10，故选：D．10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（）A．8+8+4B．8+8+2C．2+2+D． ++【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知几何体为从边长为4的正方体切出来的三棱锥．作出直观图，计算各棱长求面积．【解答】解：由三视图可知几何体为从边长为4的正方体切出来的三棱锥A﹣BCD．作出直观图如图所示：其中A，C，D为正方体的顶点，B为正方体棱的中点．∴S△ABC==4，S△BCD==4．∵AC=4，AC⊥CD，∴S△ACD==8，由勾股定理得AB=BD==2，AD=4．∴cos∠ABD==﹣，∴sin∠ABD=．∴S△ABD==4．∴几何体的表面积为8+8+4．故选A．11．若∀x∈R，函数f（x）=2mx2+2（4﹣m）x+1与g（x）=mx的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围为（）A．（0，4] B．（0，8）C．（2，5）D．（﹣∞，0）【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】当m≤0时，显然不成立；当m＞0时，g（x）=mx＜0，因为f（0）=1＞0，所以仅对对称轴进行讨论即可．【解答】解：当m＜0时，当x＞0时，g（x）=mx＜0，又二次函数f（x）=2mx2﹣（8﹣2m）x+1开口向下，当x→+∞时，f（x）=2mx2﹣（8﹣2m）x+1＜0，故当m＜0时不成立；当m=0时，因f（0）=1＞0，不符合题意；当m＞0时，若﹣=≥0，即0＜m≤4时结论显然成立；若﹣=＜0，时只要△=4（4﹣m）2﹣8m=4（m﹣8）（m﹣2）＜0即可，即4＜m＜8，综上：0＜m＜8．故选：B．12．已知函数f（x）=，若对任意的x∈[1，2]，f′（x）•x+f（x）＞0恒成立，则实数t的取值范围是（）A．（﹣∞，] B．（﹣∞，）C．（﹣∞，] D．[，+∞）【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】对任意的x∈[1，2]，f′（x）•x+f（x）＞0恒成立⇔对任意的x∈[1，2]，恒成立，⇔对任意的x∈[1，2]，2x2﹣2tx+1＞0恒成立，⇔t＜恒成立，求出x+在[1，2]上的最小值即可．【解答】解：∵∴对任意的x∈[1，2]，f′（x）•x+f（x）＞0恒成立⇔对任意的x∈[1，2]，恒成立，⇔对任意的x∈[1，2]，2x2﹣2tx+1＞0恒成立，⇔t＜恒成立，又g（x）=x+在[1，2]上单调递增，∴，∴t＜．故选：B二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在△ABC中，P为中线AM上的一个动点，若||=2，则•（+）的最小值为﹣2 ．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由已知中△ABC中，P为中线AM上的一个动点，若||=2，我们易将•（+）转化为2（||﹣1）2﹣2的形式，然后根据二次函数在定区间上的最值的求法，得到答案．【解答】解：∵AM为△ABC的中线，故M为BC的中点则+=2=+则•（+）=（+）•2=22+2•=2||2﹣4||=2（||﹣1）2﹣2当||=1时，•（+）的最小值为﹣2故答案为：﹣214．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣a+2）2=1，点A（0，﹣3），若圆C上存在点M，满足|AM|=2|MO|，则实数a的取值范围是[0，3] ．【考点】J5：点与圆的位置关系；IR：两点间的距离公式．【分析】设点M（x，y），由题意得x2+（y﹣2）2+x2+y2=10，若圆C上存在点M满足MA2+MO2=10也就等价于圆E与圆C有公共点，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：设点M（x，y），由题意得点A（0，2），O（0，0）及MA2+MO2=10，即x2+（y﹣2）2+x2+y2=10，整理得x2+（y﹣1）2=4，即点M在圆E：x2+（y﹣1）2=4上．若圆C上存在点M满足MA2+MO2=10也就等价于圆E与圆C有公共点，所以|2﹣1|≤CE≤2+1，即|2﹣1|≤≤2+1，整理得1≤2a2﹣6a+9≤9，解得0≤a≤3，即实数a的取值范围是[0，3]．故答案为：[0，3]．15．已知等比数列{a n}的首项为，公比为﹣，前n项和为S n，则当n∈N*时，S n﹣的最大值与最小值之和为．【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】根据等比数列的求和公式求出S n，分n为奇数或偶数计算出S n的范围，从而得出S n﹣的最大值与最小值．【解答】解：S n==1﹣（﹣）n，（1）当n为奇数时，S n=1+，∴1＜S n≤，（2）当n为偶数时，S n=1﹣，∴≤S n＜1．∴对于任意n∈N*，≤S n≤．令S n=t，f（t）=t﹣，则f（t）在[，]上单调递增，∴f（t）的最小值为f（）=﹣，f（t）的最大值为f（）=，∴S n﹣的最小值为﹣，最大值为，∴S n﹣的最大值与最小值之和为﹣+=．故答案为：．16．如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB 是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，则梯形周长的最大值为10 ．【考点】5D：函数模型的选择与应用．【分析】作DE⊥AB于E，连接BD，根据相似关系求出AE，而CD=AB﹣2AE，从而求出梯形ABCD的周长y与腰长x间的函数解析式，根据AD＞0，AE＞0，CD＞0，可求出定义域；利用二次函数在给定区间上求出最值的知识可求出函数的最大值．【解答】解：如图，作DE⊥AB于E，连接BD．因为AB为直径，所以∠ADB=90°．在Rt△ADB与Rt△AED中，∠ADB=90°=∠AED，∠BAD=∠DAE，所以Rt△ADB∽Rt△AED．所以=，即AE=．又AD=x，AB=4，所以AE=．所以CD=AB﹣2AE=4﹣，于是y=AB+BC+CD+AD=4+x+4﹣+x=﹣x2+2x+8由于AD＞0，AE＞0，CD＞0，所以x＞0，＞0，4﹣＞0，解得0＜x＜2，故所求的函数为y=﹣x2+2x+8（0＜x＜2）y=﹣x2+2x+8=﹣（x﹣2）2+10，又0＜x＜2，所以，当x=2时，y有最大值10．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x+，x∈R．（1）若∀x∈[，]，f（x）﹣m=0有两个不同的根，求m的取值范围；（2）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f（B）=，b=2，且sinA、sinB、sinC成等差数列，求△ABC的面积．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】（1）化简f（x），问题转化为y=m和y=f（x）在x∈[，]有2个不同的交点，画出函数的图象，求出m的范围即可；（2）求出B的值，根据正弦定理得到a+c=2b=4，根据余弦定理得到b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣ac，求出ac的值，从而求出三角形的面积即可．【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin2x﹣cos2x+，∴f（x）=sin2x﹣+=sin（2x﹣），∴f（x）=sin（2x﹣），∵x∈[，]，∴2x﹣∈[0，]，若∀x∈[，]，f（x）﹣m=0有两个不同的根，则y=m和y=f（x）在x∈[，]有2个不同的交点，画出函数的图象，如图所示：，结合图象得≤m＜1；（2）由f（B）=，解得：B=或B=，由sinA、sinB、sinC成等差数列，结合正弦定理得a+c=2b=4，故B=，且b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣ac，故ac=（24﹣12），故S△ABC=acsinB=（24﹣12）×=6﹣3．18．某大学在开学季准备销售一种盒饭进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该盒饭获利润10元，未售出的产品，每盒亏损5元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该同学为这个开学季购进了150盒该产品，以x（单位：盒，100≤x≤200）表示这个开学季内的市场需求量，y（单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润．（Ⅰ）根据直方图估计这个开学季内市场需求量x的平均数和众数；（Ⅱ）将y表示为x的函数；（Ⅲ）根据频率分布直方图估计利润y不少于1350元的概率．【考点】B8：频率分布直方图；BB：众数、中位数、平均数．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图能估计这个开学季内市场需求量x的平均数和众数．（Ⅱ）因为每售出1盒该盒饭获利润10元，未售出的盒饭，每盒亏损5元，当100＜x≤200时，y=10x﹣5=15x﹣750，当150＜x≤200时，y=10×150=1500，由此能将y表示为x的函数．（Ⅲ）由利润不少于1350元，得150x﹣750≥750，由此能求出利润不少于1350元的概率．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得：最大需求量为150盒的频率为0.015×20=0.3．这个开学季内市场需求量的众数估计值是150．需求量为[100，120）的频率为0.005×20=0.1，需求量为[120，140）的频率为0.01×20=0.2，需求量为[140，160）的频率为0.015×20=0.3，需求量为[160，180）的频率为0.0125×20=0.25，需求量为[180，200）的频率为0.0075×20=0.15，则平均数： =110×0.1+130×0.2+150×0.3+170×0.25+190×0.15=153．（Ⅱ）因为每售出1盒该盒饭获利润10元，未售出的盒饭，每盒亏损5元，所以当100＜x≤200时，y=10x﹣5=15x﹣750，当150＜x≤200时，y=10×150=1500，所以y=，x∈N．（Ⅲ）因为利润不少于1350元，所以150x﹣750≥750，解得x≥140．所以由（Ⅰ）知利润不少于1350元的概率p=1﹣0.1﹣0.2=0.7．19．已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的下底面是边长为4的正方形，AA1=4，且AA1⊥面ABCD，点P为DD1的中点，点Q在BC上，BQ=3QC，DD1与面ABCD所成角的正切值为2．（Ⅰ）证明：PQ∥面A1ABB1；（Ⅱ）求证：AB1⊥面PBC，并求三棱锥Q﹣PBB1的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（I）取AA1中点E，连接PE、BE，过D1作D1H⊥AD于H，可证四边形PQBE为平行四边形，得出PQ∥BE，故而PQ∥面A1ABB1；（II）由AA1⊥面ABCD可得AA1⊥BC，由相似三角形可得AB1⊥BE，故而AB1⊥平面PEBC，求出B1到平面PEBC的距离，代入体积公式即可得出棱锥的体积．【解答】解：（Ⅰ）证明：取AA1中点E，连接PE、BE，过D1作D1H⊥AD于H．∵AA1⊥面ABCD，AA1∥D1H，∴D1H⊥面ABCD．∴∠D1DA为DD1与面ABCD所成角．∴=2，又AA 1=4，∴DH=2．∴A 1D 1=2．∴PE=（A 1D 1+AD ）=3，又EF ∥AD ，∴四边形PQBE 为平行四边形，∴PQ ∥BE ，又PQ ⊄面A 1ABB 1，BE ⊂面A 1ABB 1，∴PQ ∥面A 1ABB 1．（Ⅱ）∵AA 1⊥面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴AA 1⊥BC ，又BC ⊥AB ，AB ∩AA 1=A ，∴BC ⊥面ABB 1A 1，又AB 1⊂平面ABB 1A 1，∴BC ⊥AB 1．在梯形A 1ABB 1中，Rt △BAE ≌Rt △AA 1B 1，∴∠B 1AE+∠AEB=∠B 1AE+∠AB 1A 1=90°，∴AB 1⊥BE ，又BE ∩BC=B ，BE ⊂平面PEBC ，BC ⊂平面PEBC ，∴AB 1⊥面PEBC ．设AB 1∩BE=M ，∵AE=2，AB=4，∴BM=2，∵A 1B 1=2，AA 1=4，∴AB 1=2，∴AM==，∴B 1M=AB 1﹣AM=，又BQ=BC=3，∴V =V ===6．20．已知过点P（﹣1，0）的直线l与抛物线y2=4x相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点．（Ⅰ）求直线l倾斜角的取值范围；（Ⅱ）是否存在直线l，使A、B两点都在以M（5，0）为圆心的圆上，若存在，求出此时直线及圆的方程，若不存在，请说明理由．【考点】KN：直线与抛物线的位置关系．【分析】（Ⅰ）设直线l的方程，代入抛物线方程，利用△＞0，即可求得k的取值范围，求得直线l倾斜角的取值范围；（Ⅱ）设圆M的方程，与抛物线方程联立，根据韦达定理，即可求得r的值及直线l的斜率k，求得直线及圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）由已知直线l的斜率存在且不为0．设l：y=k（x+1），则，整理得：ky2﹣4y+4k=0，y1+y2=，△=16﹣4k×4k＞0，解得：﹣1＜k＜1且k≠0．∴直线l倾斜角的取值范围（0，）∪（，π）；（Ⅱ）设⊙M：（x﹣5）2+y2=r2，（r＞0），则，则x2﹣6x+25﹣r2=0，∴x1+x2=6，又由（Ⅰ）知y1y2=4，∴x1x2=1．∴25﹣r2=1，∴r2=24，并且r2=24时，方程的判别式△=36﹣4×（25﹣r2）＞0，由y1+y2=k（x1+x2+2）=，解得：k=±，∴存在定圆M，经过A、B两点，其方程为：（x﹣5）2+y2=24，此时直线l方程为y=±（x+1）．21．已知函数f（x）=lnx﹣ax2+（2﹣a）x．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=﹣2，对任意给定的x0∈（0，e]，方程f（x）=g（x0）在（0，e]有两个不同的实数根，求实数a的取值范围．（其中a∈R，e=2.71828…为自然对数的底数）．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；54：根的存在性及根的个数判断．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出g（x）的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=﹣2ax+（2﹣a）=，当a=0时，f′（x）=＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增．当a＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增．当a＞0时，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞，故f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减．（Ⅱ）g（x）=﹣2，g′（x）=，x∈（﹣∞，1），g′（x）＞0，g（x）单调递增，x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴x∈（0，e]时，g（x）的值域为（﹣2，﹣2]，由已知，，由f（e）=1﹣ae2+2e﹣ea≤﹣2，∴a≥，由f（）=ln﹣+﹣1＞﹣2，∴lna﹣+＜0，令h（x）=lnx﹣知h（x）单调递增，而h（e）=0，∴a∈（0，e）时，lna﹣+＜1，∴a∈（0，e），综合以上，≤a＜e．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为9ρ2cos2θ+16ρ2sin2θ=144，且直线l与曲线C交于P，Q两点．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程及直线l恒过的顶点A的坐标；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若|AP|•|AQ|=9，求直线l的普通方程．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出曲线C的直角坐标方程，由直线l的参数方程能求出直线l恒过的定点A的坐标．（Ⅱ）把直线l的方程代入曲线C的直角坐标方程中，得：（9+7sin2α）t2+36tcosα﹣9×12=0．由t的几何意义知|AP|=|t1|，|AQ|=|t2|，点A在椭圆内，这个方程必有两个实根，从而得到||=9，进而求出tan，由此能求出直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为9ρ2cos2θ+16ρ2sin2θ=144，x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为： =1．∵直线l的参数方程是（t为参数），∴直线l恒过定点为A（2，0）．（Ⅱ）把直线l的方程代入曲线C的直角坐标方程中，整理，得：（9+7sin2α）t2+36tcosα﹣9×12=0．由t的几何意义知|AP|=|t1|，|AQ|=|t2|，∵点A在椭圆内，这个方程必有两个实根，∴t1t2=，∵|AP|•|AQ|=|t1t2|=9，即||=9，∴，∵α∈（0，π），∴tan，∴直线l的方程为y=．选修4-5：不等式选讲23．设函数f（x）=|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当a=2时，解不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤4的解集为[﹣1，7]，且两正数s和t满足2s+t=a，求证：．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）利用绝对值的意义表示成分段函数形式，解不等式即可．（2）根据不等式的解集求出a=3，利用1的代换结合基本不等式进行证明即可．【解答】（Ⅰ）解：当a=2时，不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|，可化为|x﹣2|+|2x﹣5|≥6．①x≥2.5时，不等式可化为x﹣2+2x﹣5≥6，∴x≥；②2≤x＜2.5，不等式可化为x﹣2+5﹣2x≥6，∴x∈∅；③x＜2，不等式可化为2﹣x+5﹣2x≥6，∴x≤，综上所述，不等式的解集为（﹣]；（Ⅱ）证明：不等式f（x）≤4的解集为[a﹣4，a+4]=[﹣1，7]，∴a=3，∴=（）（2s+t）=（10++）≥6，当且仅当s=，t=2时取等号．。