20. 从甲、乙两种棉花中各抽测了 25 根棉花的纤维长度（单位：mm）组成一个样本，且将纤维长
度超过 315mm 的棉花定为一级棉花．设计了如图茎叶图：
（1）根据以上茎叶图，对甲、乙两种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论（不必计算）； （2）从样本中随机抽取甲、乙两种棉花各 2 根，求其中恰有 3 根一级棉花的概率； （3）用样本估计总体，将样本频率视为概率，现从甲、乙两种棉花中各随机抽取 1 根，求其中 一级棉花根数 X 的分布列及数学期望．
．
故选：D． 画出图，根据弧长公式求解 本小题主要考查球面距离及相关计算、正方体的几何特征等基础知识，考查运算求解能力，考查空 间想象能力、化归与转化思想．属于中档题．
12.答案：A
解析：【分析】 本题考查函数的对称性，函数的零点与方程根的关系，考查利用导数研究函数的单调性和最值，构 造函数法求方程的解及参数范围，属于较难题.
2020 年湖南省长沙一中高考数学模拟试卷（理科）（一）（5 月份）
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 已知集合 A={x|（x+1）（x-2）≤0}，B={-1，0，1，2，3}，则 A∩B=（ ）
A. {-1，0，1}
B. {-1，0，1，2} C. {0，1，2}
8.答案：C
解析：【分析】 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
设此等差数列{an}的公差为 d，则 a1+a4+a7=3a1+9d=31.5，9a1+
公式即可得出． 【解答】
d=85.5，解得：d，a1．利用通项
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解：设此等差数列{an}的公差为 d，
若方程 a+1=x3-3lnx 在区间[ ，e]上有解， 则必有 1≤a+1≤e3-3，则有 0≤a≤e3-4，进而求出 a 的取值范围. 【解答】 解：根据题意，若函数 f（x）=-x3+1+a（ ≤x≤e，e 是自然对数的底数）与 g（x）=3lnx 的图象上存在 关于 x 轴对称的点， 则方程-x3+1+a=-3lnx 在区间[ ，e]上有解，
10.答案：C
解析：【分析】 本题考查简单的线性规划，考查了斜率的求法，属于中档题． 由约束条件作出可行域，联立方程组求得 A、B 的坐标，由两点求斜率公式求得 PB，PA 的斜率，可 得 k 的取值范围． 【解答】 解：由约束条件作出可行域如图：
定点 P（1，9），动点 Q（x，y）在线性约束条件 斜率 k= ，
解：由
，得
，
∴cos（2 ）=- ，则-sin2
故选：D．
4.答案：C
，sin2 ．
解析：解：正方体的对角线长为 2 ， 故当正方体旋转的新位置的最大高度为 2 ， 又因为水的体积是正方体体积的一半， ∴容器里水面的最大高度为对角线的一半，即最大液面高度为 ． 故选：C． 根据水的体积为容器体积的一半可知液面高度为物体新位置高度的一半． 本题考查了几何体的体积计算，属于基础题．
（Ⅰ）求 k 的值；
（Ⅱ）若 a、b、c 是正实数，且
，求证：
．
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1.答案：B
-------- 答案与解析 --------
解析：解：由题意可得 A={x|-1≤x≤2}，B={-1，0，1，2，3}，所以 A∩B={-1，0，1，2}． 故选：B． 求出 A 不等式的解集确定出 A，找出 A 与 B 的交集即可． 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
14. 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，前 n 项积为 Tn，若 S3＝a2＋4a1，T5＝243，则 a1 的值为 __________．
15. 已知(2＋ax)(1＋x)5 的展开式中 x2 的系数为 15，则展开式中所有项的系数和为________． 16. 已知 14C 的半衰期为 5730 年（是指经过 5730 年后，14C 的残余量占原始量的一半）．设 14C 的
21. 已知函数 f（x）=x2-8x+alnx（a∈R）
（Ⅰ）当 x=1 时，f（x）取得极值，求 a 的值；
（Ⅱ）当函数 f（x）有两个极值点 x1，x2（x1＜x2）且 x1≠1 时，总有
成
立，求 m 的取值范围．
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22. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为
D. {0，1，2，3}
2. 已知 i 为虚数单位，复数 z 满足（1+2i）z=（1+i）（2-i），则|z|=（ ）
A.
B.
C.
D.
3. 已知
，则 sin2α=（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 一个封闭的棱长为 2 的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为 棱长的一半．若将该正方体任意旋转，则容器里水面的最大高度为（ ）
A.
B.
C. π
D.
12. 已知函数 f（x）=-x3+1+a（ ≤x≤e，e 是自然对数的底数）与 g（x）=3lnx 的图象上存在关于 x 轴
对称的点，则
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 已知双曲线
的一条新近线的斜率为 ，则此双曲线的离心率为______．
参数），以原点 O 为极点，x 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 是圆心的极坐标为（
）且经过极点的圆．
（1）求曲线 C1 的极坐标方程和 C2 的普通方程；
（2）已知射线
分別与曲线 C1，C2 交于点 A，B（点 B 异于坐标原点 O），求线段
AB 的长．
23. 已知函数 f（x）=k-|x-3|，k∈R，且 f（x+3）≥0 的解集为[-1，1]．
7.答案：B
解析：解：∵ =2sin（ωx+ ），
∵f（α）=2，f（β）=0，|α-β|的最小值是 ， ∴T=2π，ω=1， 则 f（x）=2sin（x+ ），
令-
x+
可得，
，k∈Z
故选：B． 先利用辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数性质可求周期 T，进而可求 ω，从而可 求 本题主要考查了正弦函数的图象性质的简单应用，属于基础试题
5.答案：A
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解析：解：非零向量 、 满足
，可得
，所以
=8，
从而 在 方向上的投影为： = ． 故选：A． 利用已知条件求出向量的数量积的值，然后求解 在 方向上的投影．
本题考查向量的数量积的应用． 在 方向上的投影的求法，是基本知识的考查．
6.答案：A
解析：解：“一局游戏后，这二个盘中的小球都停在阴影部分”分别记为事件 A1、A2，
(1)求椭圆的方程；
，过焦点且垂直于 x 轴的直线被椭圆截得的线段长
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(2)已知 P 为直角坐标平面内一定点，动直线
与椭圆交于 A，B 两点，当直线 PA 与
直线 PB 的斜率均存在时，若直线 PA 与 PB 的斜率之和为与 t 无关的常数，求出所有满足条件 的定点 P 的坐标．
所表示的平面区域内，则
直线 PQ 的斜率 k 的取值范围为（ ）
A. [-1，7]
B. [-7.1]
C. （-∞，-1]∪[7，+∞）
D. [-9，-1]∪[7，+∞）
11. 已知三棱锥 P-ABC 的棱 AP、AB、AC 两两垂直，且长度都为 ，以顶点 P 为球心 2 为半径作一
个球，则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于（ ）
由题意知，A1、A2 互相独立，且 P（A1）= ，P（A2）= ，
∴P（A1A2）=P（A1）P（A2）= × = ．
故选：A． 先根据几何概型的概率公式得到在二个图形中，小球停在阴影部分的概率，因为二个小球是否停在 阴影部分相互之间没有关系，根据相互独立事件同时发生的概率得到结果． 本题考查几何概型的概率公式，考查相互独立事件同时发生的概率，属于基础题．
影长之和为 31.5 尺，前九个节气日影长之和为 85.5 尺，则芒种日影长为( )
A. 4.5 尺
B. 3.5 尺
C. 2.5 尺
D. 1.5 尺
9. 平面直角坐标系 中,动点 到圆
上的点的最小距离与其到直线
的距
离相等,则 点的轨迹方程是( )
A.
B.
C.
D.
10. 已如定点 P（1，9），动点 Q（x，y）在线性约東条件
A. 1
B.
C.
D.
5. 若非零向量 、 满足
，则 在 方向上的投影为
（）
A. 4
B. 8
C.
D.
6. 形状如图所示的 2 个游戏盘中（图①是半径为 2 和 4 的两个同心圆，O 为圆心；图②是正六边 形，点 P 为其中心）各有一个玻璃小球，依次摇动 2 个游戏盘后，将它们水平放置，就完成了 一局游戏，则一局游戏后，这 2 个盘中的小球都停在阴影部分的概率是（ ）
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18. 如图所示，圆 O 的直径 AB＝6，C 为圆周上一点，BC＝3，平面 PAC 垂直圆 O 所在平面，直线 PC 与圆 O 所在平面所成角为 60°，PA⊥PC．
(1)证明：AP⊥平面 PBC； (2)求二面角 P—AB—C 的余弦值．
19. 已知椭圆
为 3．
(a＞b＞0)的离心率
-x3+1+a=-3lnx a+1=x3-3lnx，即方程 a+1=x3-3lnx 在区间[ ，e]上有解，