2017-2018学年度第一学期期末考试高一数学试题一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1.已知集合{}|11M x x =-<<，{}|02N x x =≤<，则M N =I ．2.已知幂函数y x α=的图象过点，则实数α的值是 ． 3.函数2()log (34)f x x =-的定义域是 ．4.若(1,2)A ，(3,2)B t -，(7,)C t 三点共线，则实数t 的值是 ．5.已知点(2,3)A -，(6,1)B -，则以线段AB 为直径的圆的标准方程是 ．6.已知函数()1xxf x e ae-=++是偶函数，则实数a 的值是 ．7.计算：2332lg 4lg 5lg8(3)8-+--= ．8.已知一个铜质的实心圆锥的底面半径为6，高为3，现将它熔化后铸成一个铜球（不计损耗），则该铜球的半径是 ．9.函数()|lg(1)|f x x =+的单调减区间是 ．10.两条平行直线4330x y ++=与890x my +-=的距离是 ． 11.下列命题中正确的是 ．（填上所有正确命题的序号） ①若//m α，n α⊂，则//m n ； ②若//l α，//l β，则//αβ；③若m α⊥，n α⊥，则//m n ；④若//m β，//n β，m α⊂，n α⊂，则//αβ．12.若关于x 的方程2142(3)403mx m x +-+=的一个根在区间(0,1)上，另一个根在区间(1,2)上，则实数m 的取值范围是 ．13.若方程组222281050,2220x y x y x y x y t ⎧++-+=⎪⎨++-+-=⎪⎩有解，则实数t 的取值范围是 ．14.函数()2f x x =+的值域是 ．二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知正三棱柱'''ABC A B C -，M 是BC 的中点．求证：（1）'//A B 平面'AMC ； （2）平面'AMC ⊥平面''BCC B ．16.已知ABC ∆的一条内角平分线AD 的方程为30x y --=，其中(6,1)B -，(3,8)C ． （1）求顶点A 的坐标； （2）求ABC ∆的面积．17.如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，4BC BD DC ===，90BAD ∠=︒，AB AD =．（1）求三棱锥A BCD -的体积；（2）在平面ABC 内经过点B ，画一条直线l ，使l CD ⊥，请写出作法，并说明理由． 18.某种商品的市场需求量1y （万件）、市场供应量2y （万件）与市场价格x （元/件）分别近似地满足下列关系：170y x =-+，2220y x =-．当12y y =时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量． （1）求平衡价格和平衡需求量；（2）若该商品的市场销售量P （万件）是市场需求量1y 和市场供应量2y 两者中的较小者，该商品的市场销售额W （万元）等于市场销售量P 与市场价格x 的乘积． ①当市场价格x 取何值时，市场销售额W 取得最大值；②当市场销售额W 取得最大值时，为了使得此时的市场价格恰好是新的市场平衡价格，则政府应该对每件商品征税多少元？19.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(4,5)A ，(5,2)B ，(3,6)C -在圆上． （1）求圆M 的方程；（2）过点(3,1)D 的直线l 交圆M 于E ，F 两点． ①若弦长8EF =，求直线l 的方程；②分别过点E ，F 作圆M 的切线，交于点P ，判断点P 在何种图形上运动，并说明理由. 20.已知函数()4xf x =，()2xg x =．（1）试比较12()()f x f x +与122()g x x +的大小关系，并给出证明； （2）解方程：22()()2()2()9f x f xg x g x +----=； （3）求函数()()|()1|h x f x a g x =+-，[]2,2x ∈-（a 是实数）的最小值．2017-2018学年度第一学期期末考试高一数学试题答案一、填空题1.{}|01x x ≤<2.123.3(,)4-∞4.55.22(2)(1)20x y -+-= 6.1 7.59 8.3 9.(1,0)-（注：(1,0]-也正确） 10.3211.③12.2115(,)8213.[]1,12114.⎡-⎣二、解答题15.证明：（1）连接'A C ，交'AC 于点O ，连结OM ， 因为正三棱柱'''ABC A B C -， 所以侧面''ACC A 是平行四边形， 故点O 是'AC 的中点， 又因为M 是BC 的中点， 所以//'OM A B ，又因为'A B ⊄平面'AMC ，OM ⊂平面'AMC ， 所以'//A B 平面'AMC ．（2）因为正三棱柱'''ABC A B C -，所以'CC ⊥平面ABC ， 又因为AM ⊂平面ABC ，所以'CC AM ⊥，因为正三棱柱'''ABC A B C -，M 是BC 的中点，所以BC AM ⊥，M 是BC 的中点，所以AM BC ⊥，又因为'BC CC C =I ，所以AM ⊥平面''BCC B ， 又因为AM ⊂平面'AMC ， 所以平面'AMC ⊥平面''BCC B ．16.解：（1）由题意可得，点(6,1)B -关于直线AD 的对称点'(,)B a b 在直线AC 上，则有111,66130,22b a a b +⎧⨯=-⎪⎪-⎨+-⎪--=⎪⎩解得2a =，3b =，即'(2,3)B ，由'(2,3)B 和(3,8)C ，得直线AC 的方程为570x y --=，由30,570,x y x y --=⎧⎨--=⎩得顶点A 的坐标为(1,2)-．（2）AC ==，(6,1)B -到直线AC ：570x y --=的距离d ==， 故ABC ∆的面积为1242S AC d =⋅=． 17.解：（1）取BD 的中点M ，连接AM ， 因为AB AD =，所以AM BD ⊥，又因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD I 平面BCD BD =，AM ⊂平面ABD ， 所以AM ⊥平面BCD ，因为AB AD =，90BAD ∠=︒，所以122AM BD ==， 因为4BC BD DC ===，所以BCD ∆的面积24S == 所以三棱锥A BCD -的体积13V S AM =⋅=．（2）在平面BCD 中，过点B 作BH CD ⊥，交CD 于点H ， 在平面ACD 中，过点H 作HG CD ⊥，交AC 于点G ， 连结BG ，则直线BG 就是所求的直线l ， 由作法可知BH CD ⊥，HG CD ⊥，又因为HG BH H =I ，所以CD ⊥平面BHG ，所以CD BG ⊥，即l CD ⊥．18.解：（1）令12y y =，得70220x x -+=-， 故30x =，此时1240y y ==．答：平衡价格是30元，平衡需求量是40万件． （2）①由10y ≥，20y ≥，得1070x ≤≤， 由题意可知：220,1030,70,3070,x x P x x -≤≤⎧=⎨-+<≤⎩故22220,1030,70,3070,x x x W x x x ⎧-≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩当1030x ≤≤时，222202(5)50W x x x =-=--，即30x =时，max 1200W =；当3070x <≤时，270W x x =-+，即35x =时，max 12251200W =>，综述：当1070x ≤≤时，35x =时，max 1225W =． 答：市场价格是35元时，市场总销售额W 取得最大值．②设政府应该对每件商品征税t 元，则供应商的实际价格是每件()x t -元，故22()20y x t =--，令12y y =，得702()20x x t -+=--，由题意可知上述方程的解是35x =，代入上述方程得7.5t =． 答：政府应该对每件商品征7.5元．19.解：（1）设圆的方程为：220x y Dx Ey F ++++=，由题意可得22222245450,52520,(3)6360,D E F D E F D E F ⎧++++=⎪++++=⎨⎪-+-++=⎩解得0D =，4E =-，21F =-， 故圆M 的方程为224210x y y +--=．（2）由（1）得圆的标准方程为22(2)25x y +-=． ①当直线l 的斜率不存在时，l 的方程是3x =，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设为k ，则l 的方程为1(3)y k x -=-，即310kx y k --+=， 由8EF =，可得圆心(0,2)M 到l 的距离3d =，3=，解得43k =，故l 的方程是4390x y --=， 所以，l 的方程是3x =或4390x y --=． ②设(,)P a b，则切线长PE === 故以P 为圆心，PE 为半径的圆的方程为2222()()421x a y b a b b -+-=+--， 化简得圆P 的方程为：22224210x y ax by b +--++=，① 又因为M 的方程为224210x y y +--=，②②-①化简得直线EF 的方程为(2)2210ax b y b +---=， 将(3,1)D 代入得：3230a b --=， 故点P 在直线3230x y --=上运动．20.解：（1）因为12121221212()()2()44222(22)0xxxx x x f x f x g x x +-+=+-⨯⋅=-≥，。