第三章习题答案1 已知某投资的内部回报率为r ，且在该投资中C0 = 3000 元，C1 = 1000 元，R2 = 2000 元和R3 = 4000 元。
计算r 。
解: 令v = 11+r，由P(r) = 0 有C0 + C1v −R2v2 −R3v3 = 0代入数据，解得：v ≈0.8453∴r = 18.30%2 十年期投资项目的初期投入100, 000 元，随后每年年初需要一笔维持费用：第一年3000 元，以后各年以6% 的速度增长。
计划收入为：第一年末30,000 元，以后逐年递减4% ，计算R6 。
解: 由i = 6%, j = 4%R6 = 30000(1 −j)5 −3000(1 + i)5= 30000 ×0.965 −3000 ×1.065= 20446.60元3 已知以下投资方式：当前投入7000 元，第二年底投入1000 元；回报为：第一年底4000 元，第三年底5500 元。
计算：P(0.09) 和P(0.10) 。
解: 净现值P(i) 为：P(i) = −7000 + 4000(1 + i)−1−1000(1 + i)−2 + 5500(1 + i)−3P(0.09) = 75.05元P(0.10) = −57.85元北京大学数学科学学院金融数学系第1 页版权所有，翻版必究4 计算满足以下条件的两种收益率的差：当前的100 元加上两年后的108.15 元，可以在第一年底收回208 元。
解: 设收益率为i ，其满足：−100 + 208v −108.15v2 = 0解得i = 2.03% 或6.03%两种收益率的差为4.00%5 每年初存款，第10 年底余额为1000 元，存款利率4% ，每年的利息收入以4% 的利率进行再投资。
给出每年存款金额的表达式。
解: 以第10 年底为比较日，有以下的方程10R + 4%R(Is)10p3% ￢= 1000解得R =100010 + 4%(Is)10p3% ￢6 现在10000 元贷款计划在20 年内分年度还清，每年还款1000 元。
如果贷款方可以将每年的还款以年利率5% 进行投资。
计算贷款方的实际年收益率。
解: 设年收益率为i ，有1000 a20p5% ￢v20 = 10000解得i ≈6.16%北京大学数学科学学院金融数学系第2 页版权所有，翻版必究7 某投资者购买了如下的五年期金融产品：(1) 每年底得到1000 元；(2) 每年的收入可以按年利率4% 投资且当年收回利息。
如果该投资者将每年的利息收入以年利率3% 再投资，实际年收益率为4%。
计算购买价格。
解: 设购买价格为P ，有P(1 + i)5 = 1000 × 5 + 1000 i (Is)4p3% ￢P ×1.045 = 5000 + 40(Is)4p3% ￢P = 4448.42 元8 某投资者连续五年每年期末向基金存款1000 元，年利率5% 。
同时，利息收入可以以年利率4% 投资。
给出第十年底的累积余额表达式。
解: 对现金流进行拆分，第10 年底的余额为：P = 1000 × 5 + 5% ×1000 (Is)10p4% ￢−5% ×1000 (Is)5p4% ￢= 5000 + 50 ・s1￢1p −114%−50 ・s6p ￢− 64%= 5000 + 50 ×62.159 −50 ×15.824= 7316.73 元北京大学数学科学学院金融数学系第3 页版权所有，翻版必究9 甲将2000 元投资10 年，年利率17% ，利息每年支付，利息的再投资利率为11% ，第10 年底的累积利息为5685.48 元；乙在20 年内，每年底投资150 元，年利率14% ，而且利息以11% 的年利率再投资。
计算乙在20 年底的累积利息收入。
解:P A = 2000 ×17% ×s9p11% ￢P B = 150 ×14% ×(Is)19p11% ￢由P A = 5685.48解得(1 + 11%)10 = 2.83942带入P B 计算得P B = 8438.71元另解:P B = 150 ×14% ×(Is)19p11% ￢直接计算得P B = 8438.71元10 某人以100000 元购得一块土地，每年需交资产税1500 元。
十年后以260000 元卖出，同时交纳8%的销售税。
计算年收益率。
解：由净现值公式有P(i) = −100000 −1500a10p i ￢+ 260000 ×(1 −8%) ×(1 + i)−10 = 0解得：i ≈8.075%11 50000 元投资，可以在今后六年内每年得税后收入18000 元。
计算：1) 15% 的净现值；2)收益率。
解：由净现值公式有P(i) = −50000 + 18000a6p15% ￢(1) P(15%) = 18120.69元北京大学数学科学学院金融数学系第4 页版权所有，翻版必究(2) P(i) = 0解得：i ≈27.698%12 某人拥有10000 元按月以i(12) = 6% 支付利息的债券，其在得到每月的利息后，立即以i(12) = 12% 存入银行，计算其账户在第12 次、24 次和36 次存款后的余额。
并对以上三种情况计算其每年平均的i(12) 。
解：第n 次存款后的余额为P(n) = 10000 + 10000 ×i(12)12×s(12)n p ￢每年的平均i(12) 满足10000 ×(1 +i(12)12)n = P(n)把n = 12, 24, 36 代入得到P(12) = 10634.16 , i(12) = 6.16%P(24) = 11348.67 , i(24) = 6.34%P(36) = 12153.84 , i(36) = 6.52%13 某基金的年初金额为500000 元，年底余额为680000 元。
投资收入为60000 元，投资成本为5000 元。
用资本加权法计算年实际收益率。
解：由题意，A = 500000，B = 680000所以，I = 60000 −5000 = 55000i =2IA +B −I= 9.78%北京大学数学科学学院金融数学系第5 页版权所有，翻版必究14 某基金的年利率4%，年初余额1000 元，如果在第三个月底存入200 元，第9个月底取款300 元。
假定利率按单利计算，计算年底的余额。
解：P = 1000 ×(1 + i) + 200 ×(1 +34i) −300 ×(1 +14i)= 1000 ×1.04 + 200 ×1.03 −300 ×1.01= 943 元15 (1)假定：1−t i t = (1 −t)i，给出1−t i0 的表达式；2）假定：1−t i0 = ti ，给出1−t i t的表达式。
解：在考虑福利的前提下有(1 + t i0)(1 +1−t i t) = 1 + i(1) 由1−t i t = (1 −t)i得i t 0 =(1 + i) − 1 −(1 −t)i1 + (1 −t)i=ti1 + (1 −t)i(2) 由i t 0 = ti 得1−t i t =(1 + i) − 1 −(1 −t)i1 + ti=(1 −t)i1 + ti16 在初始时刻和第1 年底分别向基金投入1000 元，已知基金在第1 年底的余额为1200 元，第2 年底的余额为2200 元。
分别用资本加权法和时间加权法计算年收益率。
解：资本加权法1000(1 + i)2 + 1000(1 + i) = 2200解得i ≈6.52%时间加权法(1 + i)2 =12001000×22001200 + 1000解得i ≈9.54%北京大学数学科学学院金融数学系第6 页版权所有，翻版必究17 基金在元旦的余额为A，6月底的余额为B，年底的余额为C。
(1) 若一年中没有任何资本的注入，证明：投资额加权法和资本加权法计算的年收益率都是C−AA；(2) 如果在6 月底计算余额后立即投入资本D ，试分别给出投资额加权法和时间加权法计算收益率的表达式。
(3) 如果(2) 中的投资是在余额计算之前投入的，重新计算(2) 中的两种收益率。
(4) 说明(2) 和(3) 中投资额加权法的结果相同的原因。
(5) 试说明(2) 中时间加权法的结果大于(3) 的结果。
解：(1) 资本加权法A(1 + i) = Ci =C −AA时间加权法1 + i =BA・CBi =C −AA(2) 资本加权法A(1 + i) + D(1 +i2) = CC =C −A −DA + 12D时间加权法1 + i =BA・CB + Di =B CA (B + D)(3) 资本加权法A(1 + i) + D(1 +i2) = CC =C −A −DA + 12D时间加权法1 + i =B −DA・CBi =(B −D) CA B−1北京大学数学科学学院金融数学系第7 页版权所有，翻版必究(4) 资本加权法主要以资本量为衡量标准，所以在6 月底余额计算前投入还是后投入，对收益率没有影响。
(5) (2)中时间加权法的结果较大的原因是D从计算余额后投入时，认为这部分资本在下半年产生了利息，而在计算余额前投入，相比较而言，若这部分资本D 是在上半年投入的，则没有产生利息，所以收益率偏大。
18 已知：当t = 1, 2, 3, 4, 5 且y = 1, 2, ・・・10 时，有1 + i yt = (1.08 + 0.005t)1+0.01y如果在y = 5 时投资1000 元，持续3 年。
计算等价的均衡利率。
解：设等价的均衡利率为i ，利用投资年方法的计算公式有(1 + i51)(1 + i52)(1 + i53) = (1 + i)3代入数据得到i ≈9.469%19 基金X 在1991 年元旦的单位价值为1.0 元，在1991 年7 月1 日的单位价值为0.8 元，在1992 年元旦的单位价值为1.0 元，如果某投资者在1991 年元旦和7 月1 日分别投入10 元。
分别用资本加权法和时间加权法计算该投资者在1991年的收益。
解：资本加权法，A = 10,C = 10,B = 10 + 10 × 1= 22.5得到I = 2.5i =2.510 + 12×10= 16.67%时间加权法i =0.81×10.8−1 = 020 某汽车交易市场中可以用两种方式购买二手车：马上付款5000 元；或者，现付2400 元，然后每年底付款1500 元，两年付清。