第三节 其它类型的条件异方差模型
一、ARCH-M模型 ARCH-M（ARCH-in-mean）模型是在（1）式 右边增加一项 ht ，表达式为：
yt x ht t
' t
其中
ht 的结构与（3）相同，即：
ht 0
i 1 q 2 i t i
则称模型为ARCH-M（q）模型。
i
yt 1 yt 1 p yt p t
如果 t ~ ARCH(q) ，则序列 yt 可以用 AR( p) ARCH(q) 模型描述。其他情况类推。

为方便研究并与其他拓展形式相联系， ARCH（q）模型又可表示为：
ht var( t | Ft 1 )
2 q t q
如果随机扰动项的平方服从AR（q）过程，即
0
2 t 2 1 t 1
t （2）
其中 t 独立同分布，并满足
E(t ) 0，D（t） 2 , IID(0, 2 ) 则称模型（2）为自回归条件异方差模型，简记为 ARCH模型。称序列 t 服从q阶的ARCH过程，记作 t ~ ARCH(q) 。（1）和（2）构成的模型称为回 归—ARCH模型。 ARCH模型通常用于对主体模型的随机扰动项进行 建模，以更充分地提取残差中的信息，使最终的模型 残差项 t 成为白噪声。所以，对于AR（p），模型
第二节 广义自回归条件异方差模型 当用ARCH模型描述某些时间序列， 阶数q需取一个很大的值时，可以采 用Bollerslev（1986）提出的广义 （Generalized)自回归条件异方差模 型即GARCH模型。
一、GARCH模型的基本形式

与ARCH模型一样，GARCH模型通常也用于对回归或自回归模 型的随机扰动项进行建模。若（3）式为下面形式：
这里 Ft 1为到t-1时刻过去信息的集合。 利用过去的方差 t2i , i 1,2q 对条件方 差 ht 作自回归模型：
ht 0
q i 1
2 1 t 1

2 q t q
0 i t2i
(3)

其中
0 0,i 0, (i 1,2, q)
第一节 自回归条件异方差模型
在各种条件异方差模型中,Engle于1982年提出的自 回归条件异方差（ARCH:Auto-regressive Conditional Heteroskedastic）模型是最基础的。 一、ARCH模型 ' 对于通常的回归模型 t t t
y x （ 1 ）
p q
模型中条件方差采用了自然对数的形式，意味着 ht 非 负且随机冲击对波动的影响是指数型的。若 0 ， 说明信息作用非对称。当 0 时,负的随机冲击对波 动将会有更大的影响。


使用EVIEWS建立EGARCH模型时，同 TARCH模型类似，只需在ARCH Specification框中点选EGARCH即可。 输出结果中，RES/SQR[GARCH]（i）表 示杠杆系数 i 的估计值 |RES|/SQR[GARCH]（i）表示αi的估计 值 ，EGARCH（j）代表 j 的估计值，i 和j一般取值都是1。
二、非对称的ARCH模型


对于股票市场的研究发现，股价下跌和上涨的幅度相 同时，股票价格下跌过程往往会伴随着更剧烈的波动 性。为解释这种现象，可以引入非对称的ARCH模型。 1、TARCH模型 TARCH（Threshold ARCH）模型是由Zakoian等(1993) 提出，它具有如下形式的条件方差
二、模型的建立与估计

对某个模型的随机扰动项是否存在GARCH效应的判 断，可以采用检验ARCH效应的LM检验。如果LM检 验的辅助回归方程的q值很大时，检验依然显著，即 残差序列存在高阶ARCH（q）效应，这时应该考虑采 用GARCH模型。GARCH模型的参数估计仍然采用极 大似然法。 在EVIEWS中建立GARCH模型：选择 Quick/Estimate Equation，进入条件异方差模型定义对 话框，在Mean Equation Specification框中输入主体方 程，在Order ARCH和GARCH后面分别输入q和p的相 应数值。
t 0 t 0
2、EGARCH模型

EGARCH模型，即指数（Exponential) GARCH模型， 由Nelson在1991年提出。模型的条件方差表达式为：
log(ht ) 0 j log(ht j ) i t i i t i ht i ht i j 1 i 1
ht 0 i t2i t21dt 1 j ht j
i 1 j 1
q
p
其中dt 是一个虚拟变量
dt
1 0
由于引入 dt ，股价上涨信息（ t 0 ）和下跌信 息（ t 0 ）对条件方差的作用效果不同。当 0 时，说明信息作用是非对称的，而当 >0时，负的随 机冲击较正的随机冲击对波动将会有更大的影响。 在Eviews中估计TARCH模型时，在ARCH Specification框中点选TARCH项即可。输出结果中的 ( RESID 0)* ARCH（ 1 ） 项代表杠杆效应系数 的估计值。
自回归条件异方差模型
资产收益率的波动性是金融经济学家们长期关注的 一ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ焦点问题。资产选择理论试图通过用方差或协方 差关系描述收益率的波动性来寻找最优资产组合， CAPM模型和其他资产定价理论说明投资者怎样从承 担与自己的资产组合存在某种协方差联系的系统性风 险中获得补偿。然而，传统的金融计量学模型对风险 或收益波动性特征的理解却是简单而粗糙的，一般把 方差视为是随时间的变化而独立、同分布的常量。20 世纪60年代以来，大量关于金融市场价格行为的经验 研究结果证实：方差是随时间的变化而变化的。 Mandelbrot(1963)首先发现了金融资产收益率的波动存 在时间序列上的“簇聚(clustering)现象”，即幅度较 大的波动会相对集中在某些时段，而幅度较小的波动 会集中在另一些时段。这种金融变量随市场波动的特 点是金融市场中常见的、规律性的现象。

检验的原假设和备择假设为：
H0 : 1 2 q 0
H1 : i 0, (1 i q)
检验统计量
LM nR2 ~ 2 (q)
其中，n是计算辅助回归（4）时的样本 数据个数， R 2 是辅助回归（4）的可决系 数（采用最小二乘估计）。

给定显著性水平 和自由度 q，如果 2 LM (q) ，则拒绝 H 0 ，认为序列存在ARCH 2 LM 效应；如果 (q)，则不能拒绝 H 0 ，说 明序列不存在ARCH效应。 在Eviews 上的操作：首先用LS估计模型，然 后对残差序列进行ARCH检验。在方程结果的 输出窗口选择View/ResidualTests/ARCH LM 2 Test,屏幕提示用户指定 检验阶数即q值。输 出结果第一行F统计量不是精确分布，仅供参 考。第二行是LM统计量的值以及检验的相伴 概率。
三、ARCH模型的参数估计

ARCH模型的参数估计一般采用极大似然方法 估计。 设样本量是n，回归—ARCH（q）模型参数估 计的对数似然函数为：
n t 1 1 n 1 n 2 ln L( , | y, x) n ln(2 ) ln(ht ) ( t / ht ) ln 2 2 t 1 2 t 1 yt t 1
q
i 1 (保证ARCH过程平稳）。 且： i 1 t 的条件方差是滞后误 在ARCH模型中， 差项的增函数。因此，较大（小）的误 差项一般后面紧跟着较大（小）的误差， 回归阶数q决定了冲击的影响存留于后续 误差项方差中的时间长度，q越大，波动 持续的时间也就越长。
二、 ARCH效应检验
使函数达到最大值的参数 和 值，就是参数 的极大似然估计。
ARCH模型在EVIEWS中的操作

例：对自回归模型的残差序列建立ARCH模型。 选择Quick/Estimate Equation，在方程的定义对话框中 打开Method下拉菜单，点击ARCH项进入条件异方差 模型定义对话框。 在窗口上方的Mean Equation Specification框中输入 主体模型，如 y y(-1) y(-2)，在ARCH Specification下 定义对残差序列建立ARCH模型的阶数，并将GARCH 后的1改为0，对话框中其他选项采用默认值。 在模型的输出结果中，由于模型包含因变量的滞 后项，所以DW检验失效。
ht 0
2 1 t 1
q p i 1 j 1
2 q t q
1ht 1 p ht p t
0 i t2i j ht j t
则称序列服从GARCH（p,q）过程。实际应用中，GARCH模 型中的阶数q值远比ARCH模型中的q值要小。一般地，GARCH （1，1）模型就能够描述大量的金融时间序列数据。


假如模型旨在解释一项金融资产（如股票或债 券）的回报率，那么增加 ht 的原因是每个投 资者都期望资产回报率是与风险度紧密联系的， 而条件方差 代表了期望风险的大小。 ht Eviews中建立(G)ARCH-M模型的方法与一般 GARCH(p,q)的建模过程相同。只需要将条件 方差或标准差纳入回归或其他形式的方程。操 作时，在对话框右上角的ARCH-M term框中 进行相应的选择。

罗伯特· 恩格尔于1942年出生于美国纽约州的中部城市 锡拉丘兹，目前是纽约大学财经系的教授。瑞典皇家 科学院表示，他之所以得奖是因为他发明了一种计量 方法，能够预测并分析随时间变化的股票价格、外汇 汇率以及利率的波动。由于传统的计量经济学模式无 法解释金融市场价格的波动规律，恩格尔在1982年提 出一种 “ 自回归条件异方差模型 ” （简记 ARCH 模型）。 这个模型被认为是一项重大突破，经过近二十年的发 展，已经被广泛应用于经济与金融领域的时间序列分 析。恩格尔的发明使得市场分析师以及投资人能够预 测股票波动并评估风险。瑞典皇家科学院称，他“不仅 是研究人员学习的光辉典范，而且也是金融分析家的 楷模，他的 ARCH模型不仅为研究者，而且为市场分 析师们在资产定价和投资组合风险评估方面提供了不 可或缺的工具。”