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《 数量经济技术经济研究》 2006 年第 3 期
一 、 ARCH 模型及其参数 α 、 β 的确定
ARCH 模型假设观测数据的方差呈现相关性 , 即观测误差的方差是其滞后值的函数 。 被预测变量的条件分布为 : yt 其中
T T
Υ t -1 ～ N ( x t β , ht )
T
xt = ( x 1t , x 2 t , …, x n t )
L( θ ) 1 ε t = ∑ S t( θ )= ∑ -1 θ t =1 t =1 2 h t
n
n
2
2 Ln ht 1 ε t θ 2h t θ
T 再对 S t ( θ ) 关于 θ 求导 , 得 t S t( θ ) 1 1 ε = T T 2 ht θ θ 2
Ln ht 1 ε t + -1 θ 2 ht
引 言
计量经济学建模时 , 经常会遇到异方差问题 , 在许多应用场合下 , 误差项的方差随时间 的变化而变化 ;回归误差的方差依赖于过去误差的变化程度 , 表现出波动的集群性 。 传统分 析中所使用的计量模型 , 如线性回归模型 、 A RMA 模型等都采用期望值为零 , 且服从独立 同方差的假设 , 不能客观和准确地描述变动的集群性和方差的时变性 。 自回归条件异方差 ( ARCH ) 模型是由 Ro bert Engle ( 1982) 最早提出的 , 该类模型因其良好的统计特性和对 波动现象的准确描述 , 可适用于对经济类时间序列数据 , 诸如股票价格 、 利率 、 外汇汇率等 的回归分析及预测 。 近年来虽然关于 A RC H 模型的介绍 ( Krone r , 1992 ;苗实等 , 1999 ; 张世英等 , 2002 ; 王若平 , 2002) 可经常见到 , 但对 A RCH 模型 ( 尤其是多维自回归过程) 的详细计算推导 、 扰动敏感性的分析以及其在预测股票价格变动中的应用 , 却鲜有报道 。
其中
ht y2 t y2 t -1 ] , 则 L 2 ( θ ) = 12 ( 1 +y 2 t -1 ) - 3 ( 1 +y 2 t -1 ) 。 T = [1 θ 2h t ht λ 1 , Cm in =
T T
在加入扰动后的 A RCH 模型中 , 最大 、 最 小曲率仍然分 别为 Cm ax =2 2
2 2 2 ht =h ( ε t -1 , ε t -n , …, ε t -p , α ) ht =α 0 +α 1ε t -1 +α 2ε t -2 +… + α mε t -m
α =( α 0 , α 1 , …, α m) β= ( β1 , β2 , … , βn) ε t = y t -x t β Υ t 是在 t 时刻的信息集合 , x t 是一些外生变量或被预测变量的滞后值构成的向量 , 以 其中 m 项观察为条件 ( t1 , t -2 , …, t m) , 用 n 项观察来估计 ( 1t , 2 t , …, nt) ;α 、 β 是待定参数 。 其中误差项服从均值为 0 、 方差为 ht 的正态分布 , 即 ε t ～ N ( 0 , ht ) , 也就是说 f ( yt 令 则 f ( yt
自回 归条件异方差模型的研究分析
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自回归条件异方差模型的研究分析
王立凤
1 、2
陆晓倩
1 、2
( 1 .厦门大学经济学院 ;2.集美大学工商管理学院)
【 摘要】 自回归条件异方差 ( ARCH ) 模型适用于对具有群集性和方差时变性 特点的经济类时间序列数据的回归分析和预测 。 本文对 ARCH 模型中待定参数的 确定进行了详细推导 ; 探讨了对 ARCH 模型扰动影响的敏感性进行分析计算的方法 ; 并实例应用 ARCH 模型对股票收盘价格的全年变动进行预测 , 研究分析其特点 。 关键词 A RCH 模型 预测 方差 扰动影响 股价 中图分类号 F 832. 51 文献标识码 A
ω ) ∑ L n(
t
而利用 L1 ( θ ) 、 L2 ( θ ) 就可以求出局部影响的曲率度量 , 从而判断 A RC H 模型估计 的误差度 ( 即模型的风险大小) 。 在 ARCH 模型中 , 最大最小曲率分别为 Cm ax =2 λ 1 , Cm in =2 λ 2 , 其中 λ 1 、 λ 2 分 T T 别为矩阵 G L 2 ( θ ) G =Δ L 2 ( θ ) Δ中绝对值最大和最小的特征值 。 其中 ( ω ) G = θ Δ = ω
在 ARCH 模型中的参数估计是基于似然函数的 , 因而可以假设对模型的扰动就是对似 然函数的扰动 ( 即假设直接影响 h t ) 。 L( θ ( ω ) )=- 1 2 2π h t )- 1 ∑ L n( 2 t =1
n 2 ( y - xT t β) +1 ∑ ht 2 t =1 n n t =1
2 1 Lnht 1 ε t ht 1 ε t T = 2ε t xt -2 T + 1 2 θ ht ht θ 2 ht
2x t x t 0 2ε txt Lnht 1 1 ht + T T θθ 2ht 2 h2t θ 0 0 0
T
二 、 ARCH 模型扰动影响的计算分析
2
L( θ ) θω
若最大曲率较小 , 则说明模型的风险较小 ; 若最小曲率较大 , 则说明模型的风险较大 。 则 1 1 1 1 y2 t L1 ( θ ) =+ 2 2 2 2h t y t -1 2 h t y t -1
1 θ y2 t ht 1 )= 1 h t 1 L2 ( θ )= L ( - 3 T 2 T T θ 2 ht θ y t -1 h t θ y t -1
将式 ( 3) 、( 4) 结果代入式 ( 2) 得
m
1 +ε St ( θ )= 2h t 2h2t 则 L1( θ )=
2 t
j =1
ε x ∑ -2 α
j tj
t -j
ξ t( β)
xt u t 2 L( θ ) 1 ε t + ht = = -1 θ 2 ht 0
2 Ln ht 1 ε t θ 2 ht θ
ARCH 模型对扰动影响的局部敏感性 。 将扰动因素表示为 :
T T ω =( ω 1 , ω 2 , …, ω p)
按照局部影响的定义 , 定义似然距离 LD ( ω )= 2 [L ( θ ) -L ( θ( ω ) ) ] , 其中 θ 为不 存在扰动时对 θ 的估计 , 而 θ( ω ) 为对摸型加入扰动后的估计 , 则 LD ( ω ) 反映了扰动对 模型的影响 。 相应地 , 一个好的模型 , 它受扰动的影响应该较小 。 Z =L D ( ω ) 为影响图 , 表示一个 p +1 维空间的 p 维曲面 , 反映了扰动对模型的影响 。 在这个空间 , 过 ω 0 做方向为 d 的曲线 , L d ∶η d ( t) =ω 0 + dt , 则过 ω 0 方向为 d 的曲线的 曲率和最大最小曲率分别为 : Cd = ‖η 2d ‖ 2 Cm ax =‖ max Cd Cm in =‖min Cd d ‖ =1 d ‖ =1 ‖η 1d ‖
n
∏
( y -x t β) 1 ex p 2h t 2π ht
n t =1
T
2
=- n L n( 2π )- 1 2 2
ht )- 1 ∑ L n( 2 t =1
∑
2 ( y - x tT β) ht
采用极大似然估计法就是固定样本的观察值 , 在 θ 可能的区间内挑选出使概率 L ( θ ) 最大的参数值 θ , 估计出待定参数 α 、 β。
n
L( θ ) = θ = 令 St ( θ ) =
Ln
t =1
y ∏f (
t
|Υ t1 ; θ ) ( 1)
θn t =1∑Fra bibliotek-1 2
2 2 L n( ht ) 1 1 ( y - x tT β) ( y - xT t β) h t 2 θ 2 ht θ ht θ
Ln f( yt
t -1 ; Υ θ ) 1 L n( ht ) 1 1 ( y -x t β) ( y -x t β) h t =θ 2 θ 2 ht θ h2 t θ
m
2 ε t -j θ
0 0n = 1 0 0 其中 +
0 0n 0
2 ε t1
0 0n +…+ 0 0
t-m ε 2 m
-2ε t -j x t -j + ∑α j
j =1
m
0 0
=
j =1
∑ -2ε x
tj
tj
ξ t( β)
0
2 2 2 T ξ t ( β) = [ 1 , ε t -1 , ε t -2 , …, ε t -m ]
T
2
T
2
( 2)
自回 归条件异方差模型的研究分析
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其中
T 2 -2 x t ε t ( y -x t β) = θ 0( m项) 2 2 2 ht ( α 0 +α 1ε t-1 +α 2ε t2 + … +α mε t -m ) = = θ θ
( 3)
m
α 0 + θ j∑ =1
α j 2 ε t -j + j ∑α θ j =1
t -1) = Υ T
T
1 ( y -x t β) exp 2 ht 2π ht
T T
T
2
θ =( β , α) Υ t -1 ; θ )=
2 1 ( y -x tT β) ex p 2h t 2π ht
由极大似然估计法可得样本的似然函数