④ 用第3步得到的可决系数R2构造统计量LM = TR2。其中T表示辅 助回归式的样本容量。 在原假设成立条件下，LM统计量服从自由度为p的2分布，计算 的LM统计量小于临界值，接受原假设；否则，拒绝原假设。
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一、ARCH过程

检验方法2：ARCH的F检验


① 建立原假设 H0：a1 = a2 = … = ap = 0 （不存在ARCH） H1：a1, a2 , …, ap 不全为零 ˆt2 ② 估计均值方程，求出残差的平方序列 ③ 分别估计有约束模型和无约束模型
ht a0 a
2 1 t 1d 源自2 1 t 1 t 1 1ht 1
1, t 1 0 dt 1 0, t 1 0
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四、模型扩展
2. 非对称模型：TARCH和EGARCH EGARCH模型
ln(ht ) a0 a1 (t 1 / h ) 1 | t 1 / h | 1 ln(ht 1 )
yt 0 1 yt 1 t
均值方程
ARCH方程
t t a0 a

2 1 t 1
其中t是均值为0，方差为1的白噪声过程，且与t-1 相互独立。 t序列特征



零均值，无自相关 2 E ( 无条件方差： t ) a0 / (1 a1 ) 条件方差： t2 E( t2 | t 1 , t 2 ,) a0 a1 t2 1
ht a0 a1 (0.4 t21 0.3 t22 0.2 t23 0.1 t24 )
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二、GARCH模型
ARCH模型中条件方差是自回归过程，Bollerslev （1986）将其扩展到ARMA过程 假定误差过程为： t t ht p q 且 2
qt 2.767 pte 0.521ht 4.325 pfeedt 1 1.887hatcht 1 0.603qt 4 1t
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三、EViews应用举例（波动缓和）

问题提出

宏观经济变量特征：1984年后波动出现衰减 Stock和Watson（2002）指出1984~2002年的美国真实 GDP增长的标准差相对于1960~1983年减少了61%. Romer（1999）也谈到，良好的货币政策可以使中央银 行更好地促进经济稳定
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① 建立原假设 H0：a1 = a2 = … = ap = 0 （不存在ARCH） H1：a1, a2 , …, ap 不全为零 ˆt2 ② 估计均值方程，求出残差的平方序列 ③ 估计辅助回归式
ˆt2 a0 a1 ˆt21 ap ˆt2 p t

第六讲 自回归条件异方差(ARCH)模型
一、ARCH过程 二、GARCH模型 三、EViews应用举例 四、模型扩展
一、ARCH过程

传统计量经济学都假设干扰项的方差为常数，但 很多经济时间序列具有非常大的波动，持续一段 时间后又会相对稳定一段时间，并且这种现象是 循环往复的。
400 300 200 100 0 -100 -200 -300 -400
研究目的：1984年第1季度是否有波动性突变 合理的均值模型：

yt 0.006 0.331yt 1 t (7.14) (5.47)
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三、EViews应用举例（波动缓和）

异方差检验：
2 5 2 2 ˆ ˆ ˆ t 5.48 10 0.099 t 1 0.131 t 2
(1 0.511L 0.129L2 0.130L3 0.138L4 )Pt 1.632 2t (0.092) (0.098) (0.094) (0.175) (0.073) (1.347)
2 ht 1.353 0.163 2 t 1 0.591ht 1
(0.747) (0.80)

ht a0 a1 t i i ht i
i 1 i 1
上式称为GARCH(p,q)模型 GARCH模型的优点在于：一个高阶的ARCH模型 可能有一个更为简洁且更易识别和估算的GARCH 表达式。

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二、GARCH模型
例：风险的GARCH模型（Holt和Aradhyula，1990） 研究目的：测算美国烤鸡业生产者的风险厌恶程度 烤鸡的供给函数
ˆt23 0.140 t24 0.015

可以证明序列yt表现了条件性波动 引入虚拟变量Dt，ARCH(1)模型重新估计
yt 0.005 0.321yt 1 t (8.23) (5.10) ˆt21 9.54 105 Dt ht 1.16 104 0.086 (7.55) (1.08) (6.24)

考虑如下模型
yt 1 t 1xt

var( yt 1 | xt ) xt2 2
如果xt = xt-1 = … = 常数，则yt就是方差恒定的白噪 声过程；如果xt变化，则yt就是异方差；如果xt呈 现出正序列相关，则yt的条件方差也呈现出序列正 相关。
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一、ARCH过程

简单ARCH(1)模型（Engle，1982）

一般ARCH(p)模型
t t a0 i 1 ai t2i
p
a0 a
2 t
2 1 t 1
a
2 2 t 2
a
2 p t p
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一、ARCH过程

均值方程的误差项是否存在自回归条件异方差应该进行假 设检验 检验方法1：ARCH的LM检验
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四、模型扩展
1. ARCH-M模型


允许序列的均值依赖于它的条件方差 适用于资产市场的研究，其基本观点是风险厌恶的投资者 会在持有风险资产时要求相应的风险补偿。由于一项资产 的风险可以用收益的方差来衡量，风险溢价就是收益的条 件方差的增函数。 如：持有一项风险资产所带来的超额收益可描述为
ˆt2 a0 t ˆt2 a0 a1 ˆt21 a p ˆt2 p t

④ 利用两个模型的残差平方和构造F统计量
( SSRr SSRu ) / p F ~ F ( p, T p 1) SSRu / (T p 1)

检验方法3：模型残差平方的Q检验
qt a0 a1 pte a2ht a3 pfeedt 1 a4 hatcht 1 at qt 4 1t

注意：这里衡量了价格的条件方差对烤鸡供给的负面影响 2 3 4 (1 L L L L )P 价格模型： 1 2 3 4 t 0 2t 经检验价格存在异方差，GARCH(1,1)估计结果
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一、ARCH过程
yt序列特征

条件均值和方差
Et 1 ( yt ) 0 1 yt 1 var( yt | yt 1 , yt 2 ,) Et 1 ( yt 0 1 yt 1 ) 2 Et 1 ( t ) 2 a0 a1 t21
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一、ARCH过程
例：Engle的英国通货膨胀模型 pt：英国消费者物价指数的对数；wt：名义工资率 指数的对数，则通货膨胀率为t = pt – pt-1，实际 工资为rt = wt – pt t=0.0257+0.334t-1+0.408t-4–0.404t-5+0.0559rt-1+t (0.006) (0.103) (0.110) (0.114) (0.014) ht = 8.910-5 ARCH检验：ARCH(1)不显著，但ARCH(4)=15.2， 大于临界值13.28，因此，存在ARCH误差
0.5 t 1 0.5 t 1

特点


(1)条件方差为线性对数形式，ht不会为负，所以允许系 数为负 (2)EGARCH使用标准化的t-1的值，这种标准化的值能 够更准确地解释冲击的大小和持续性，因为标准化的 值没有度量单位 (3)EGARCH模型考虑了杠杆效应。如果t-1为正，冲击 对条件方差的对数的影响是a1+1，否则为-a1+1
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波动集群 (volatility clustering)
-500 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008
一、ARCH过程

有时，我们可能需要预测序列的条件方差

对于资产持有者，往往对该资产在持有期间的回报率 及其方差感兴趣。 如果投资者打算在t期买进该资产，在t+1期卖出，无条 件方差（即对方差的长期预测）就不重要了
yt t t
t ht 0
ht a0 a
i 1 p 2 i t i
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四、模型扩展
2. 非对称模型：TARCH和EGARCH


“坏”消息对资产价格波动性的影响远大于“好”消息的 影响 对许多股票而言，当前收益和未来波动之间呈很强的负相 关，收益增加时波动减小，收益减少时，波动增加，这一 趋势通常被称为杠杆效应（leverage effect） TARCH模型