初中九年级数学期中考试试卷一、选择题(每小题4分，共32分．下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．) 1．抛物线y=(x-1)2+2的顶点是( )A．(1，-2) B．(1，2) C．(-1，2) D．(-1，-2)2．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=35，则cosB等于( )A．34B．34C．35D．453．如图，在△ABC中，DE∥BC，且AE=3cm，EC=5cm，DE=6cm，则BC等于( )A．10cm B．16cm C．12cm D．185cm4．将抛物线y=2x2经过怎样的平移可得到抛物线y=2(x+3)2+4？答：( )A．先向左平移3个单位，再向上平移4个单位B．先向左平移3个单位，再向下平移4个单位C．先向右平移3个单位，再向上平移4个单位D．先向右平移3个单位，再向下平移4个单位5．如右图，⊙O的半径OA等于5，半径OC⊥AB于点D，若OD=3，则弦AB的长为( )A．10 B．8 C．6 D．46．下列说法正确的个数有( )①平分弦的直径垂直于弦；②三点确定一个圆；③等腰三角形的外心一定在它的内部；④同圆中等弦对等弧A．0个B．1个C．2个D．3个7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠4=36°，BD平分∠ABC，DE∥BC，则图中与△ABC相似的三角形(不包括△ABC)的个数有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．已知b ＜0时，二次函数y=ax 2+bx+a 2-1的图象如下列四个图之一所示．根据图象分析，a 的值等于．．．．( )A ．-2B ．-1C ．1D ．2二、填空题(每小题4分，本题共16分)9．已知关于x 的一元二次方程(k-1)2x 2+(2k+1)+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为__________． 10．如右图，⊙O 的直径为26cm ，弦AB 长为24cm ，且OP ⊥AB 于P 点，则tan ∠ADP 的值为__________．11．己知菱形ABCD 的边长是6，点E 在直线AD 上，DE=3，连接BE 与对角线AC 相交于点M ，则MCAM的值是__________．12．已知：抛物线y=ax 2+bx+c 与y 交于C 点，顶点为M ，直线CM 的解析式为y=-x+3并且线段CM 的长为32，则抛物线的解析式为____________________．三、解答题(每小题6分，本题共18分)13．计算：4cos45°-(-3)2·13()2---(π-3)0-3·tan30°．14．解方程：3x 2-2x -2=0．15．如图，在4×4的正方形网格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．(1)填空：∠ABC=__________°，BC=__________；(2)判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论．四、解答题(每小题5分，本题共10分)16．已知：如图，直线AC与圆O交于点B、C，直线AD过圆心O，若圆O的半径是5，且∠DAC=30°，AD=13，求弦BC的长。

17．如图，在大圆中有一个小圆O，现有直尺和圆规．(1)简要说明确定大圆的圆心O′的步骤；(2)作直线l，使其将两圆的面积均二等分。

五、解答题(本题满分6分)18．如图，矩形ABCD，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AD=10cm，且tan∠EFC=34，(1)求证：△AFB ∽△FEC ；(2)求折痕AE 的长．六、解答题(本题满分8分) 19．已知二次函数21322y x x =-++． (1)用配方法将函数解析式化为y=a(x-h)2+k 的形式；(2)当x 为何值时，函数值y=0；(3)列表描点，在所给坐标系中画出该函数的图象；(4)观察图象，指出使函数值y ＞32时自变量x 的取值范围．七、解答题(第20、21、23每题8分，第22题6分，共30分)20．如图，四边形ABCD为矩形，AB=4，AD=3，动点M从D点出发，以1个单位／秒的速度沿DA向终点A 运动，同时动点N从A点出发，以2个单位／秒的速度沿AB向终点B运动．当其中一点到达终点时，运动结束．过点N作NP⊥AB，交AC于点P1连结MP．已知动点运动了x秒．(1)请直接写出PN的长；(用含x的代数式表示)(2)试求△MPA的面积S与时间x秒的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；(3)在这个运动过程中，△MPA能否为一个等腰三角形．若能，求出所有x的对应值；若不能，请说明理由．21．已知：在△ABC中，∠ABC=-90°，点B在直线AB上，ED与直线AC垂直，垂足为D，且点M为EC中点，连接BM，DM．(1)如图1，若点E在线段AB上，探究线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系，并直接写出你得到的结论；(2)如图2，若点E在BA延长线上，你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明：(3)若点E在AB延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系．22．小明为了通过描点法作出函数y=x2-x+1的图象，先取自变量x的7个值满足：x2-x1=x3-x2=…=x7-x6=d，再分别算出对应的y值，列出表1：表1：x x1x2x3x4x5x6x7y 1 3 7 13 21 31 43 记m1=y2-y1，m2=y3-y2，m3=y4-y3，m4=y5-y4，…；s1=m2-m1，s2=m3-m2，s3=m4-m3，…(1)判断s1、s2、s3之间关系；(2)若将函数“y=x2-x+1”改为“y=ax2+bx+c(a≠0)”，列出表2：表2：x x1x2x3x4x5x6x7y y1y2y3y4y5y6y7其他条件不变，判断s1、s2、s3之间关系，并说明理由；(3)小明为了通过描点法作出函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，列出表3：表3：x x1x2x3x4x5x6x7y 10 50 110 190 290 420 550由于小明的粗心，表3中有一个y值算错了，请指出算错的y值(直接写答案)23．如图所示，已知抛物线y=x2-1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点c．(1)求A、B、C三点的坐标．(2)过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．(3)在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG⊥x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理八、附加题：1．已知直线y=b(b为实数)与函数y=|x|2-4|x|+3的图像至少有三个公共点，则实数b的取值范围__________．2．如图，点A1，B1，C1分别在△ABC的边，AB，BC，CA上，且1111 ,()2AA BB CCk kAB BC CA===＞，若△ABC的周长为p，△A1B1C1的周长为p1；求证：p1＜(1-k)p．九年级期中考试数学试卷参考答案一、选择题1．B 2．C 3．B 4．A 5．A 6．B 7．C 8．C 二、填空题9．12k ＞且k ≠1 10．125 11．223或 12．2211232333y x x y x x =--+=-+或 三、解答题13．422+． 14．2266x ±=； 15．(1)∠ABC=135°，BC=22；(2)能判断△ABC 与△DEF 相似(或△ABC ∽△DEF)． ∵可求∠ABC=∠DEF=135°， 又AB=2，BC=22，DE=2，EF=2， ∴2AB BCDE EF==， α△ABC ∽△DEF ． 16．解：作OM ⊥BC 于点M ． ∵AD=13，OD=5，∴AO=8． ∵∠DAC=30°，∴OM=4 在Rt △OCM 中，OM=4，OC=5， ∴MC=3 ∴BC=2MC=617．答：(1)任作大圆的两条弦AB 、CD ，分别作AB 和CD 的中垂线l i 与l 2，l 与l 2的交点O ′就是大圆的圆心．(2)过O ，O ′作直线EF 可等分两圆的面积．18．解：(1)利用两组对应角相等证明(2)先利用三角函数求得AB=8，BF=6，AF=10；再利用方程求得CF=4，CE=3，EF=5；最后用勾股定理求得AE=5519．(1)y=-12(x-1)2+2 (2)3或-1 (3)图象略 (4)0＜x＜2．20．解：(1)PN=32x．(2)过点P作PQ⊥AD交AD于点Q．可知PQ=AN=2x．依题意，可得AM=3-x．∴S=12·AM·PQ=12·(3-x)·2x=-x2+3x=-239()24x-+．自变量x的取值范围是：0＜x≤2．∴当x=32时，S有最大值，S最大值=94．(3)△MPA能成为等腰三角形，共有三种情况，以下分类说明：①若PM=PA，∵PQ⊥AD，∴MQ=QA=PN=32x．又DM+MQ+QA=AD ∴4x=3，即x=34．②若MP=AM，MQ=AD-AQ-DM=3-52x，PQ=2x，MP=MA=3-x．在Rt△PMQ中，由勾股定理得：MP2=MQ2+PQ2．∴(3-x)2=(3-52x)2+(2x)2．解得x=3637，x=0(不合题意，舍去)③若AP=AM，由题意可求AP=52x，AM=3-x．∴52x=3-x．解得x=67．综上所述，当x=34，或x=3637，或x=67时，△MPA是等腰三角形．21．解：(1)结论：BM=DM，∠BMD=2∠BCD．(2)在(1)中得到的结论仍然成立．即BM=DM，∠BMD=2∠BCD．证法一：∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，∴BM=12EC=MC，又点M是Rt△DEC的斜边EC的中点，∴DM=12EC=MC．∴BM=DM．∵BM=MC，BM=MC，∴∠CBM=∠BCM，∠DCM=∠CDM．∴∠BMD=∠EMB-∠EMD=2∠BCM-2∠DCM=2(∠BCM-∠DCM)=2∠BCD．即∠BMD=2∠BCD．证法二：∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，∴BM=12EC=ME．又点M是Rt△DEC的斜边EC的中点，∴DM=12EC=MC，∴BM=DM．∵BM=ME，DM=MC，∴∠BEC=∠EBM，∠MCD=∠MDC．∴∠BEM+∠MCD=∠BAC=90°-∠BCD．∴∠BMD=180°-(∠BMC+∠DME)=180°-2(∠BEM+∠MCD)=180°-2(90°-∠BCD)=2∠BCD．即∠BMD=2∠BCD．(3)所画图形如图所示：图1中有BM=DM，∠BMD=2∠BCD；图2中∠BCD不存在，有BM=DM；图3中有BM=DM，∠BMD=360°-2∠BCD．22．解：(1)s1=s2=s3；(2)s1=s2=s3；证明略(3)42023．解：(1)令y=0，得x2-1=0 解得x=±1令x=0，得y=-1∴A(-1，0) B(1，0) C(0，-1)(2)∵OA=OB=OC=1 ∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=45°∵AP∥CB，∴∠PAB=45°过点P作PE⊥x轴于E，则△APE为等腰直角三角形令OE=a，则PE=a+1 ∴P(a，a+1)∵点P在抛物线y=x2-1上∴a+1=a##2-1解得a1=2，a2=-1(不合题意，舍去)∴PE=3∴四边形ACBP的面积S=12AB·OC+12AB·PE=12×2×1+12×2×3=4(3)假设存在∵∠PAB=∠BAC=45°∴PA⊥AC∵MG⊥x轴于点G，∴∠MGA=∠PAC=90°在Rt△AOC中，OA=OC=1 ∴AC=2在Rt△PAE中，AE=PE=3 ∴AP=32设M点的横坐标为m，则M(m，m2-1)①点M在y轴左侧时，则m＜-1(i)当△AMG∽△PCA时，有AG MG PA CA=∵AG=-m-1，MG=m2-1即211322m m---=解得m1=-1(舍去) m2=23(舍去)(ii)当△MAG∽△PCA时有AG MG CA PA=即211232m m---=解得：m=-1(舍去) m2=-2∴M(-2，3)②点M在y轴右侧时，则m＞1(i)当△AMG∽△PCA时有AG MG PA CA=∵AG=m+1，MG=m2-1 ∴解得m1=-1(舍去) m2=43∴47(,)39M(ii)当△MAG∽△PCA时有AG MG CA PA=即211 232 m m+-=解得：m1=-1(舍去) m2=4 ∴M(4，15)∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似M点的坐标为(-2，3)，(43，79)，(4，15)附加题：1．-1＜b≤32．如图，过B1作AC的平行线交AB于A2，则有A1B1＜A1A2+B1A2=(1-2p)AB+pAC．同理可得另外两式，三式相加即得结果．。