2015-2016学年山东省青岛市胶州市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知椭圆的方程为+=1，则此椭圆的长轴长为（）A．3 B．4 C．6 D．82．若直线ax+y﹣1=0与直线4x+（a﹣3）y﹣2=0垂直，则实数a的值等于（）A．﹣1 B．4 C．D．3．直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为（）A．相切 B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离4．命题“若xy=0，则x2+y2=0”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．45．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个面中，最大的面积是（）A．B．1 C．D．6．抛物线y=4x2的焦点坐标是（）A ．（0，1）B ．（1，0）C ．D ．7．若m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下面命题正确的是（ ）A ．若m ⊂β，α⊥β，则m ⊥αB ．若α∩γ=m ，β∩γ=n ，则α∥βC ．若m ⊥β，m ∥α，则α⊥βD ．若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ8．圆心在曲线上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为（ ）A ．（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=5B ．（x ﹣2）2+（y ﹣1）2=5C ．（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=25D ．（x ﹣2）2+（y ﹣1）2=259．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱AB ，AD ，AA 1，上分别各取异于端点的一点E ，F ，M ，则△MEF 是（ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不能确定10．设F 1，F 2分别为双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|=|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．2二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知圆锥的母线长为5cm ，侧面积为15πcm 2，则此圆锥的体积为 cm 3．12．已知：椭圆的离心率，则实数k 的值为 ． 13．已知实数x ，y 满足，则u=3x+4y 的最大值是 ．14．“a ≠1或b ≠2”是“a+b ≠3”成立的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的一个）．15．椭圆+=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，弦AB 过点F 1，若△ABF 2的内切圆周长为π，A ，B 两点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则|y 1﹣y 2|= ．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.16．设命题p ：方程+=1表示双曲线；命题q ：∃x 0∈R ，x 02+2mx 0+2﹣m=0（Ⅰ）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若命题q 为真命题，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）求使“p ∨q ”为假命题的实数m 的取值范围．．17．已知坐标平面上一点M （x ，y ）与两个定点M 1（26，1），M 2（2，1），且=5．（Ⅰ）求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的轨迹为C ，过点M （﹣2，3）的直线l 被C 所截得的线段的长为8，求直线l 的方程．18．已知P （x ，y ）为平面上的动点且x ≥0，若P 到y 轴的距离比到点（1，0）的距离小1．（Ⅰ） 求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ） 设过点M （m ，0）的直线交曲线C 于A 、B 两点，问是否存在这样的实数m ，使得以线段AB 为直径的圆恒过原点．19．如图所示，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点．求证：（Ⅰ）AF ∥平面BCE ；（Ⅱ）平面BCE ⊥平面CDE ．20．已知F 1，F 2分别为椭圆=1（a ＞b ＞0）左、右焦点，点P （1，y 0）在椭圆上，且PF 2⊥x轴，△PF 1F 2的周长为6；（1）求椭圆的标准方程；（2）E 、F 是曲线C 上异于点P 的两个动点，如果直线PE 与直线PF 的倾斜角互补，证明：直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．21．已知椭圆C 的两个焦点的坐标分别为E （﹣1，0），F （1，0），并且经过点（，），M 、N 为椭圆C 上关于x 轴对称的不同两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若⊥，试求点M 的坐标； （3）若A （x 1，0），B （x 2，0）为x 轴上两点，且x 1x 2=2，试判断直线MA ，NB 的交点P 是否在椭圆C 上，并证明你的结论．2015-2016学年山东省青岛市胶州市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知椭圆的方程为+=1，则此椭圆的长轴长为（）A．3 B．4 C．6 D．8【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】判断椭圆的焦点坐标所在的轴，然后求解长轴长即可．【解答】解：椭圆的方程为+=1，焦点坐标在x轴．所以a=4，2a=8．此椭圆的长轴长为：8．故选：D．【点评】本题考查椭圆的基本性质的应用，基本知识的考查．2．若直线ax+y﹣1=0与直线4x+（a﹣3）y﹣2=0垂直，则实数a的值等于（）A．﹣1 B．4 C．D．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】计算题．【分析】由两直线垂直的充要条件可得：4a+（a﹣3）=0，解之即可．【解答】解：由两直线垂直的充要条件可得：4a+（a﹣3）=0，解得a=．故选C【点评】本题考查两直线垂直的充要条件，属基础题．3．直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为（）A．相切 B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题．【分析】求出圆心到直线的距离d，与圆的半径r比较大小即可判断出直线与圆的位置关系，同时判断圆心是否在直线上，即可得到正确答案．【解答】解：由圆的方程得到圆心坐标（0，0），半径r=1则圆心（0，0）到直线y=x+1的距离d==＜r=1，把（0，0）代入直线方程左右两边不相等，得到直线不过圆心．所以直线与圆的位置关系是相交但直线不过圆心．故选B【点评】此题考查学生掌握判断直线与圆位置关系的方法是比较圆心到直线的距离d与半径r的大小，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题．4．命题“若xy=0，则x2+y2=0”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．4【考点】四种命题的真假关系；四种命题．【专题】常规题型．【分析】先写出其命题的逆命题，只要判断原命题和其逆命题的真假即可，根据互为逆否命题的两个命题真假相同，即可判定其否命题、逆否命题的真假．【解答】解：“若xy=0，则x2+y2=0”，是假命题，其逆命题为：“若x2+y2=0，则xy=0”是真命题，据互为逆否命题的两个命题真假相同，可知其否命题为真命题、逆否命题是假命题，故真命题的个数为2故选C．【点评】本题考查四种命题及真假判断，注意原命题和其逆否命题同真假，属容易题．5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个面中，最大的面积是（）A．B．1 C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是直三棱锥，根据图中的数据，求出该三棱锥的4个面的面积，得出面积最大的三角形的面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是如图所示的直三棱锥，且侧棱PA⊥底面ABC，PA=1，AC=2，点B到AC的距离为1；∴底面△ABC的面积为S=×2×1=1，1=××1=，侧面△PAB的面积为S2=×2×1=1，侧面△PAC的面积为S3在侧面△PBC中，BC=，PB==，PC==，∴△PBC是Rt△，∴△PBC的面积为S=××=；4∴三棱锥P﹣ABC的所有面中，面积最大的是△PBC，为．故选：A．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间中的位置关系与距离的计算问题，是基础题目．6．抛物线y=4x2的焦点坐标是（）A．（0，1） B．（1，0） C．D．【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，确定开口方向和p值，即可得到焦点坐标．【解答】解：抛物线y=4x2的标准方程为 x2=y，p=，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，故焦点坐标为（0，），故选C．【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用；把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，是解题的关键．7．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下面命题正确的是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若α∩γ=m，β∩γ=n，则α∥βC．若m⊥β，m∥α，则α⊥βD．若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ【考点】命题的真假判断与应用．【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】根据空间直线与平面的位置关系的定义，判断定理，性质定理及几何特征，逐一分析四个答案中命题的正误，可得答案．【解答】解：若m⊂β，α⊥β，则m与α的夹角不确定，故A错误；若α∩γ=m，β∩γ=n，则α与β可能平行与可能相交，故B错误；若m∥α，则存在直线n⊂α，使m∥n，又由m⊥β，可得n⊥β，故α⊥β，故C正确；若α⊥β，α⊥γ，则β与γ的夹角不确定，故D错误，故选：D【点评】本题以命题地真假判断为载体，考查了空间直线与平面的位置关系的判定，熟练掌握空间线面关系的判定方法及几何特征是解答的关键．8．圆心在曲线上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+（y﹣2）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 C．（x﹣1）2+（y﹣2）2=25 D．（x﹣2）2+（y﹣1）2=25【考点】圆的切线方程；圆的标准方程．【专题】计算题．【分析】设出圆心坐标，求出圆心到直线的距离的表达式，求出表达式的最小值，即可得到圆的半径长，得到圆的方程，推出选项．【解答】解：设圆心为，则，当且仅当a=1时等号成立．当r最小时，圆的面积S=πr2最小，此时圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5；故选A．【点评】本题是基础题，考查圆的方程的求法，点到直线的距离公式、基本不等式的应用，考查计算能力．9．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB，AD，AA1，上分别各取异于端点的一点E，F，M，则△MEF是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不能确定【考点】棱柱的结构特征．【专题】数形结合；转化法；空间位置关系与距离．【分析】根据题意，画出图形，结合图形，设出AE=x，AF=y，AM=z，利用勾股定理和余弦定理，求出△MEF的内角的余弦值，即可判断三角形的形状．【解答】解：如图所示，设AE=x ，AF=y ，AM=z ，则EF 2=x 2+y 2，MF 2=y 2+z 2，ME 2=x 2+z 2，∴cos ∠EMF==＞0， ∴∠EMF 为锐角；同理，∠EFM 、∠FEM 也是锐角，∴△MEF 是锐角三角形．故选：B ．【点评】本题考查了利用余弦定理判断三角形形状的应用问题，也可以用平面向量的坐标表示求向量的夹角进行判断，是基础题目．10．设F 1，F 2分别为双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|=|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．2【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a 与b 之间的等量关系，运用双曲线的a ，b ，c 的关系和离心率公式即可求出双曲线的离心率．【解答】解：依题意|PF 2|=|F 1F 2|，可知三角形PF 2F 1是一个等腰三角形，F 2在直线PF 1的投影是其中点，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，由勾股定理可知|PF 1|=4b ，根据双曲定义可知4b ﹣2c=2a ，整理得c=2b ﹣a ，代入c 2=a 2+b 2整理得3b 2﹣4ab=0，求得=，即b=a，则c==a，即有e==．故选：A．【点评】本题主要考查双曲线的定义、方程和性质，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15πcm2，则此圆锥的体积为12πcm3．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题．【分析】先求圆锥的底面半径，再求圆锥的高，然后求其体积．【解答】解：已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15πcm2，所以圆锥的底面周长：6π底面半径是：3圆锥的高是：4此圆锥的体积为：故答案为：12π【点评】本题考查圆锥的侧面积、体积，考查计算能力，是基础题．12．已知：椭圆的离心率，则实数k的值为或3 ．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】当K＞5时，由 e===求得K值，当0＜K＜5时，由 e===，求得K值．【解答】解：当K＞5时，e===，K=．当0＜K＜5时，e===，K=3．综上，K=或3．故答案为：或3．【点评】本题考查椭圆的标准方程，以及简单性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，易漏讨论焦点在y轴上的情形．13．已知实数x，y满足，则u=3x+4y的最大值是11 ．【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；转化思想；不等式．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用u的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由u=3x+4y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A时，直线y=﹣x+的截距最大，此时u最大，由，解得，即A（1，2），此时u=3+2×4=11，故答案为：11．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用u的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．14．“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”成立的必要不充分条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的一个）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】阅读型．【分析】根据互为逆否命题的真假一致，将判断“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”成立的什么条件转换为判断a+b=3是a=1且b=2成立的什么条件．【解答】解：由题意得∵命题若a≠1或b≠2则a+b≠3与命题若a+b=3则a=1且b=2互为逆否命题因为当a=3，b=0有a+b=3所以“命题若a+b=3则a=1且b=2”显然是假命题所以命题若a≠1或b≠2则a+b≠3是假命题所以a≠1或b≠2推不出a+b≠3“若a=1且b=2则a+b=3”是真命题∴命题若a+b≠3则≠1或b≠2是真命题∴a+b≠3⇒a≠1或b≠2“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”的必要不充分条件．故答案为必要不充分．【点评】判断充要条件时可以先判断某些命题的真假，当命题的真假不易判断时可以先判断原命题的逆否命题的真假（原命题与逆否命题的真假相同）．15．椭圆+=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，弦AB 过点F 1，若△ABF 2的内切圆周长为π，A ，B两点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则|y 1﹣y 2|= ．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；作图题；数形结合；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意作图辅助，易知△ABF 2的内切圆的半径长r=，从而借助三角形的面积，利用等面积法求解即可．【解答】解：由题意作图如下，，∵△ABF 2的内切圆周长为π， ∴△ABF 2的内切圆的半径长r=， 又∵△ABF 2的周长l=4a=16， 故S △ABF2=16×=4，且S △ABF2=|F 1F 2|×|y 1﹣y 2|=3|y 1﹣y 2|，故|y 1﹣y 2|=， 故答案为：．【点评】本题考查了数形结合的思想应用及等面积法的应用．属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 16．设命题p ：方程+=1表示双曲线；命题q ：∃x 0∈R ，x 02+2mx 0+2﹣m=0（Ⅰ）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）若命题q 为真命题，求实数m 的取值范围； （Ⅲ）求使“p ∨q ”为假命题的实数m 的取值范围．． 【考点】命题的真假判断与应用．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；简易逻辑． 【分析】（Ⅰ）命题p 为真命题时，方程+=1表示双曲线，求出（1﹣2m ）（m+2）＜0时的解集即可；（Ⅱ）命题q 为真命题时，方程x 02+2mx 0+2﹣m=0有解，△≥0，求出解集即可； （Ⅲ）“p ∨q ”为假命题时，p 、q 都是假命题，求出m 的取值范围即可． 【解答】解：（Ⅰ）当命题p 为真命题时，方程+=1表示双曲线，∴（1﹣2m ）（m+2）＜0， 解得m ＜﹣2，或m ＞，∴实数m 的取值范围是{m|m ＜﹣2，或m ＞}； … （Ⅱ）当命题q 为真命题时， 方程x 02+2mx 0+2﹣m=0有解， ∴△=4m 2﹣4（2﹣m ）≥0， 解得m ≤﹣2，或≥1；∴实数m 的取值范围是{|m ≤﹣2，或≥1}；… （Ⅲ）当“p ∨q ”为假命题时，p ，q 都是假命题， ∴，解得﹣2＜m ≤；∴m 的取值范围为（﹣2，]． …【点评】本题考查了双曲线的概念与应用问题，也考查了命题真假的判断问题，一元二次方程有解的判断问题，是综合题目．17．已知坐标平面上一点M （x ，y ）与两个定点M 1（26，1），M 2（2，1），且=5．（Ⅰ）求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的轨迹为C ，过点M （﹣2，3）的直线l 被C 所截得的线段的长为8，求直线l 的方程．【考点】轨迹方程．【专题】综合题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）直接利用距离的比，列出方程即可求点M 的轨迹方程，然后说明轨迹是什么图形； （Ⅱ）设出直线方程，利用圆心到直线的距离，半径与半弦长满足的勾股定理，求出直线l 的方程． 【解答】解：（Ⅰ）由题意，得=5.，化简，得x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣23=0… 即（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=25．∴点M 的轨迹方程是（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=25， 轨迹是以（1，1）为圆心，以5为半径的圆．…（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，l ：x=﹣2，此时所截得的线段的长为2=8，∴l ：x=﹣2符合题意．…当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y ﹣3=k （x+2），即kx ﹣y+2k+3=0， 圆心到l 的距离d=，由题意，得（）2+42=52，解得k=．∴直线l 的方程为x ﹣y+=0，即5x ﹣12y+46=0．综上，直线l 的方程为x=﹣2，或5x ﹣12y+46=0…【点评】本题考查曲线轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．18．已知P （x ，y ）为平面上的动点且x ≥0，若P 到y 轴的距离比到点（1，0）的距离小1．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）设过点M（m，0）的直线交曲线C于A、B两点，问是否存在这样的实数m，使得以线段AB 为直径的圆恒过原点．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）由题意得：，化简得：y2=4x（x≥0）．求得P的轨迹方程．（Ⅱ）分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线AB方程为y=k（x﹣m），A（x1，y1），B（x2，y2），直线和抛物线联立方程求解．当斜率不存在时，m=0或m=4．成立．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：，化简得：y2=4x（x≥0）．∴点P的轨迹方程为y2=4x（x≥0）．．（Ⅱ）①当斜率存在时，设直线AB方程为y=k（x﹣m），A（x1，y1），B（x2，y2），由，得ky2﹣4y﹣4km=0，∴，∵以线段AB为直径的圆恒过原点，∴OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0．即m2﹣4m=0∴m=0或m=4．②当斜率不存在时，m=0或m=4．∴存在m=0或m=4，使得以线段AB为直径的圆恒过原点．【点评】本题主要考查轨迹方程的求解和直线与抛物线的综合应用，属于中档题，早高考中经常涉及19．如图所示，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，F为CD的中点．求证：（Ⅰ）AF∥平面BCE；（Ⅱ）平面BCE⊥平面CDE．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）取CE的中点G，连结FG、BG．由已知条件推导出四边形GFAB为平行四边形，由此能证明AF∥平面BCE．（Ⅱ）由等边三角形性质得AF⊥CD，由线面垂直得DE⊥AF，从而AF⊥平面CDE，由平行线性质得BG⊥平面CDE，由此能证明平面BCE⊥平面CDE【解答】证明：（Ⅰ）取CE的中点G，连FG、BG．∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF=DE．∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE，∴GF∥AB．又AB=DE，∴GF=AB．∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG．∵AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE．（Ⅱ）∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AF⊥CD．∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF．又CD∩DE=D，故AF⊥平面CDE．∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE．∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．已知F 1，F 2分别为椭圆=1（a ＞b ＞0）左、右焦点，点P （1，y 0）在椭圆上，且PF 2⊥x轴，△PF 1F 2的周长为6； （1）求椭圆的标准方程；（2）E 、F 是曲线C 上异于点P 的两个动点，如果直线PE 与直线PF 的倾斜角互补，证明：直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用点P （1，y 0）在椭圆上，且PF 2⊥x 轴，△PF 1F 2的周长为6，求出a ，b ，c ，即可求椭圆的标准方程；（2）设直线PE 方程代入椭圆方程，得（3+4k 2）x 2+4k （3﹣2k ）x+4（﹣k ）2﹣12=0，求出E ，F 的坐标，由此能证明直线EF 的斜率为定值．【解答】解：（1）由题意，F 1（﹣1，0），F 2（1，0），c=1，… C △=|PF 1|+|PF 2|+2c=2a+2c=8… ∴…∴椭圆方程为…（2）由（1）知，设直线PE 方程：得y=k （x ﹣1）+，代入，得（3+4k 2）x 2+4k （3﹣2k ）x+4（﹣k ）2﹣12=0… 设E （x E ，y E ），F （x F ，y F ）． ∵点P （1，）在椭圆上，∴x E =，y E =kx E +﹣k ，…又直线PF 的斜率与PE 的斜率互为相反数，在上式中以﹣k 代k ，可得x F =，y F =﹣kx F ++k ，…∴直线EF 的斜率k EF ==．即直线EF 的斜率为定值，其值为…【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线EF 的斜率为定值的证明，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．已知椭圆C 的两个焦点的坐标分别为E （﹣1，0），F （1，0），并且经过点（，），M 、N 为椭圆C 上关于x 轴对称的不同两点． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）若⊥，试求点M 的坐标；（3）若A （x 1，0），B （x 2，0）为x 轴上两点，且x 1x 2=2，试判断直线MA ，NB 的交点P 是否在椭圆C 上，并证明你的结论．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用椭圆的长轴长的定义及焦点坐标，计算即得结论； （2）通过设M （m ，n ），N （m ，﹣n ），利用，计算即得结论；（3）通过设M （m ，n ）、直线MA 与直线NB 交点为P （x 0，y 0），分别将点P 代入直线MA 、NB 的方程，利用x 1x 2=2、m 2=2﹣2n 2，计算即得结论． 【解答】（1）解：依定义，椭圆的长轴长，∴4a 2=8，即a 2=2， 又∵b 2=a 2﹣1=1， ∴椭圆标准方程为；（2）解：设M （m ，n ），N （m ，﹣n ）， 则，，精品文档。