材料力学
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二、一点应力状态的描述
单元体：围绕构件内一点所截取的微小正六面体。 （1）各边长为无穷小直六面体；dx，dy，dz→0 （2）各面应力均匀分布； （3）平行两面对应应力数值相等。 （4）单元体各个面上的应力已知或可求；
dx
dy dz
一 点 应 力 状 态
z
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y
sy
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式（7-5）可求出相差900的两个角a 1，对应两个互相
垂直的截面上，作用着大小相等，同时指向或背离交线的 切应力所在截面。
t max sx -s y 2 t xy t min 2
2
（7-6）
式（7-3）和式（7-5）有： tan 2a 0 tan 2a1 -1
Me
K 450
Me
45
0
1 s 3 -s 1 E 1 - 1 t - t -t E E
s
s a OD1 OC CD1 OC CD cos(2a 0 2a ) OC CA cos 2a0 cos 2a - CAsin 2a0 sin 2a

sx s y
2

s x -s y
2
cos 2a - t xy sin 2a
t a CD sin(2a 0 2a ) CA sin 2a 0 cos 2a CA cos 2a 0 sin 2a
根据切应力互等定理tyx= txy，及三角函数关系
dA
1 cos 2a 1 - cos 2a 2 cos a ， sin a 2 2 sin 2a 2sin a cos a
2
sx
dAcosa
a
sa
n
x
a
txy
ta
tyx
t
dAsina sy 整理后得到 s x s y s x -s y sa cos 2a - t xy sin 2a （7-1） 2 2 sx -s y （7-2） ta sin 2a t xy cos 2a 2
t zx
G
（1）线应变只与正应力有关，与切应力无关；切应变只与 切应力有关，与正应力无关。 （2）一个方向的线应变不仅与该方向的正应力有关，而且 与两个垂直方向的正应力有关。因此，考察一个方向 的线应变时，需要考虑三个互相垂直方向的正应力。
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已知轴扭转时的d，E，v，45o，求 Me。 解：1、应力状态分析画单元体 2、 求 t
1 x s x - s y s z E 1 y s y - s z s x E 1 z s z - s x s y E


y
sy
O



t yz
G
sz
tyx tyz txy tzy tzx txz
sx
x
z
xy
t xy
G
yz
zx
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4、面内最大切应力值及其作用面方位 应力圆上的最高点的切应力最大，即为面内 最大切应力，其作用面与主平面的夹角为450。
C1(sm ,tmax) A O E B1 C
2a0 A1
t
t max sx -s y 2 t xy t min 2
sy smin tyx t t sm B max E A xy s x F a0
2
（7-4）
四、面内最大切应力及位置
式（7-2）对a 求导，得
面内是指截面法线 是位于xy平面内的。
dt a 由 |a a1 0 可确定面内切应力取极值的截面。 da
sx -s y tan 2a1 2t xy
（7-5）
dt a (s x - s y )cos 2a - 2t xy sin 2a da
sadA-sx(dAcosa)cosa txy (dAcosa)sina tyx (dAsina)cosa -sy(dAsina)sina 0
这里要特别指出，式中tyx要按其大小计算，不考虑负号。
sa s x cos2 a s y sin2 a - (t xy t yx )sina cosa
第七章 应力状态和强度理论
§7.1
一、应力状态的概念
一点的应力状态是指某点处各截面上的应力情况。
概
述
前面各章研究的正应力和切应力都是横截面上的应力，
通过应力状态分析，可以了解各点任意斜截面上的应力情 况。研究应力状态的目的是找出某点处的最大正应力和最 大切应力数值及所在截面的方位，以便进行失效分析并研 究构件破坏的原因。
2
t
smax
sx sy
s min OE OC - CE
sx -s y 2 - t xy 2 2 AA1 主平面方位 tan 2a 0 CA1 2t xy s x -s y
19
O
E B1
C
2a0
A1
F s
sx sy
2
smin
sm
B
sx sy
2
smax
O
sz
tyx tyz txy tzy tzx txz
sy sx txy tyx txy sx
sx
x
正视图
tyx sy
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2
三、主平面
主应力
1、主平面——切应力等于零的平面。 一点处一般有三个主平面，互相垂直。 2、主应力——主平面上的正应力。 一点处一般有三个主应力，按代数值大小排 列分别记为 s1 ， s2 ， s3，且
y sy
s1 s 2 s 3
tyx txy sx
z'
s2 s3 s1
y'
tyz tzy sz
z
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tzx
txz
x 旋转 x'
3
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四、一点应力状态的分类
1、单向应力状态——只有一个主应力不为零。
单元体
s
简化表示
s
2、二向（平面）应力状态——有两个主应力不为零。
s2 s1 t t s2 s1
a 为参数
s x -s y 2 t xy 2
2
sa ， ta 为变量
2
sx s y 2 s t a a 2

2
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二、应力圆的作法
t
sx -s y 2 R t xy 2

s x -s y
2
sin 2a t xy cos 2a
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3、主应力值及主平面方位
sy smin tyx txy BE sx A F a0
平均应力值 s m OC 主应力值

A
sx sy
s max
2
2 OF OC CF
sx -s y 2 t xy 2
21
§7.4
应力与应变的关系
一、广义胡克定律
各向同性材料，应力不超过材料的比例极限。 胡克定律成立
x
sx
E
s E
y
y - x -
sx
E
sx
x
sx
--泊松比
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三向应力状态的广义胡克定律——叠加法
s2
s1 1 E
s1
s3 s2 1 - 1 - E E 叠加 1 1 1 1
tyx
D
y
B sa
ta A t xy
a sx
n
2a
A(sx,txy)
x
O B(sy,tyx)
C
s
点面对应
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转向对应
二倍角对应
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2、单元体斜截面上的应力
tyx
D
sy
t
D(sa ,ta) 2a 2a0 C D1
A(sx,txy)
B sa
ta A t xy
a sx
n x O B(sy,tyx)
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txy
ta
tyx
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3、任意斜截面上的应力 平衡对象——用a 斜截面截取的局部单元。 参加平衡的量——应力乘以其作用的面积。 平衡方程——
dA
Fn 0
Ft 0
sx
a
sa
n
x
a
图示单元各截面面积如图所示。
dAcosa
txy
dAsina sy
ta
tyx
t
Fn 0
sa
sx 局部平衡
sx
ta
任意斜截面是指法线 位于xy面内的斜截面
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sx
txy ta sy
sa a
n
x
简化表示
sx txy
a
sa a ta
x
tyx
sy
tyx
a面——斜截面
自x轴正向逆时针转到a 面外法线时a 角定义为正。 2、应力的正负号规定 正应力以拉应力为正，压应力为负。 切应力以绕单元体或其局部顺时针方向转 动为正；反之为负。 应力的正负号规定是为画出应力的指向及画 应力圆用，不表示应力的指向与图示相反。
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Ft 0
tadA-sx(dAcosa)sina-txy (dAcosa)cosa tyx (dAsina)sina sy(dAsina)cosa 0