实用标准解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中， C＝90°，AB＝ c， AC＝ b ， BC＝ a。

（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。

（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A＋B＝ 90 °；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sin A＝ cos B＝a， cos A＝sin＝b， tan A＝a。

c bc2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中， A、 B、 C 为其内角， a、b、 c 分别表示 A、 B、C 的对边。

（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。

（2 ）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等a b c2R （R为外接圆半径）sin A sin B sin C（ 3 ）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2 ＝b2＋2－ 2bccosA；b2 ＝ 2 ＋a2－ 2cacosB；c2＝ 2 ＋b2－2abcos。

c c a C3．三角形的面积公式：1ah a＝11（1）S＝bh b＝ch c（ h a、 h b、 h c分别表示 a、b、 c 上的高）；22211bc sin A＝1（2）S＝ab sin C＝ac sin B；222求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型：（1 ）两类正弦定理解三角形的问题：第 1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.第 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2 ）两类余弦定理解三角形的问题：第 1、已知三边求三角 .第 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。

（ 1）角的变换因为在△ABC 中， A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。

sin A BcosC,cosA BsinC；2222（ 2）判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.6．求解三角形应用题的一般步骤：（1 ）分析：分析题意，弄清已知和所求；（2）建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；（3）求解：正确运用正、余弦定理求解；（4）检验：检验上述所求是否符合实际意义。

二、典例解析题型 1 ：正、余弦定理例 1．（1）在ABC 中，已知 A 32.00， B81.80， a42.9 cm，解三角形；（2）在ABC 中，已知a20 cm，b 28cm ， A 400，解三角形（角度精确到10，边长精确到 1cm ）。

解：（1 ）根据三角形内角和定理，C 1800( A B) 1800(32.00 81.80) 66.20；根据正弦定理， b asin B42.9sin81.8080.1(cm) ；sin A sin32.00根据正弦定理，c asinC42.9sin66.2 074.1(cm). sin A sin32.0 0（ 2）根据正弦定理，sin B bsin A28sin4000.8999.a20因为 00＜ B＜1800，所以B640，或 B1160.①当 B640时，C1800( A B)1800(400640 ) 760，c asin C 20sin76030(cm).sin A sin40 0②当 B 1160时，C 1800(A B)00116)， c asinC20sin24013(cm).180 (4024sin A sin400点评：应用正弦定理时（ 1 ）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（ 2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器题型 2 ：三角形面积例 2．在ABC 中，sin A cos A2， AC2，AB 3 ，求tan A的值和ABC 的面积。

2解法一：先解三角方程，求出角 A 的值。

sin A cos A2 cos(A45 )2 ,2cos(A 145).2又 0 A 180 , A 45o 60o , A 105.otan Atan(45o 60o )1 3 23 ,13sinA sin105 sin(4560 ) sin45 cos60cos45 sin60 2 6.4S ABC1 AC AB sin A 12 32 46 3 ( 26) 。

224解法二：由 sin A cos A 计算它的对偶关系式sin A cos A 的值。

sin A cos A2①2(sin A cos A)2 12 2sin Acos A 12Q 0o A 180o , sin A 0,cos A 0.另解 (sin 2 A1)2(sin A cos A) 21 2 sin A cos A3 ,2sin A cos A6②2①+ ②得 sin A264 。

①－②得 cos A246 。

从而tan Asin A264 23。

cosA426以下解法略去。

点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的基础试题。

两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？题型 3 ：三角形中的三角恒等变换问题例 3 ．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、 b 、 c 成等比数列，且a2－c2= ac－ bc ，求∠A 的大小及bsin B的值。

c分析：因给出的是a、b、c 之间的等量关系，要求∠A，需找∠ A 与三边的关系，故可用余弦定理。

由 b2= ac 可变形为b2 b sin Bc = a，再用正弦定理可求c的值。

解法一：∵ a、 b、 c 成等比数列，∴ b 2= ac。

又 a2－ c2= ac－ bc ，∴b2+ c2－a2= bc 。

在△ABC 中，由余弦定理得：b 2c 2a2bc1 cos A=2bc==，2bc2∴∠A=60°。

在△ABC 中，由正弦定理得sin B=bsin A，∵b 2= ac，a∠ =60 °，Absin B b2 sin 603∴=sin60 °=。

c ac2解法二：在△ ABC 中，由面积公式得1bc sin A=1ac sin B。

22∵b 2= ac，∠A=60°，∴bc sin A= b 2sin B。

∴bsin B=sin A= 3 。

c2评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。

题型 4 ：正、余弦定理判断三角形形状例 4 ．在△ABC中，若 2cos B sin A＝sinC ，则△ABC的形状一定是（）A. 等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形答案： C解析： 2sin A cos B＝ sin C =sin （A＋B） =sinAcosB+cosAsinB∴sin （A－B）＝ 0 ，∴A＝B另解：角化边点评：本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅解题途径题型 5 ：三角形中求值问题例 5 ．ABC 的三个内角为A、 B、 C ，求当A为何值时， cos A 2cos B C取得最大值，并2求出这个最大值。

解析：由 A+B+C=B+CπA B+C A π，得=－，所以有 cos=sin。

22222cosA+2cos B+C=cosA+2sinA A A A13 2=1 － 2sin 2+ 2sin = － 2(sin－)2 +；222222A1πB+C3当 sin =，即 A=时 , cosA+2cos取得最大值为。

22322点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三角函数的性质求得结果。

题型 6 ：正余弦定理的实际应用例 6．（ 2009 辽宁卷文，理）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内， B， D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。

测量船于水面A处测得B 点和 D 点的仰角分别为300，于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为600，AC=0.1km。

750，试探究图中 B，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求 B，D 的距离（计算结果精确到 0.01km，2 1.414，6 2.449 ）解:在△ABC 中，∠DAC=30 °, ∠ADC=60 °－∠DAC=30,所以 CD=AC=0.1又∠BCD=180°－60°－60°=60°，AB AC 故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线，所以BD=BA ，在△ABC 中，sin BCA ,sin ABCACsin60 3 26即AB=sin 15,20326因此， BD=200.33km。

故 B， D 的距离约为 0.33km 。

点评：解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，但也不可太难，只要掌握基本知识、概念，深刻理解其中基本的数量关系即可过关。

三、思维总结1．解斜三角形的常规思维方法是：（ 1）已知两角和一边（如A、 B、C），由 A + B+ C =π求C，由正弦定理求a、 b；（ 2）已知两边和夹角（如a、 b 、 c），应用余弦定理求 c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用 A + B+ C =π，求另一角；（ 3）已知两边和其中一边的对角（如a、 b、 A），应用正弦定理求B，由 A+ B+ C =π求C，再由正弦定理或余弦定理求 c 边，要注意解可能有多种情况；（ 4）已知三边a、 b 、c，应余弦定理求A、 B，再由 A+ B+ C =π，求角C。

2 ．三角学中的射影定理：在△ ABC 中， b a cosC c cos A ，⋯3 ．两内角与其正弦 ：在△ ABC 中， AB sin A sin B ，⋯4 ．解三角形 可能出 一解、两解或无解的情况， 合“三角形中大 大角定理及几何作 来帮助理解” 。

三、 后跟踪1.（ 2010 上海文数18. ）若△ ABC 的三个内角 足sin A :sin B :sin C5:11:13 ， △ ABC（）（ A ）一定是 角三角形. （ B ）一定是直角三角形.（ C ）一定是 角三角形.(D) 可能是 角三角形，也可能是 角三角形 .解析：由 sin A :sin B :sin C 5:11:13及正弦定理得 a:b:c=5:11:13由余弦定理得cos c5 2 112 13 22 5 110 ，所以角 C 角2. （ 2010 天津理数 7 ）在△ ABC中，内角 A,B,C 的 分 是a,b,c ，若 a2b 23bc ，sin C 23 sin B ， A=()（A ） 300 （B ） 600（C ）120 0 （D ）1500【答案】 A【解析】本 主要考 正弦定理与余弦定理的基本 用，属于中等 。