1．计算下列极限： ⑴0tan 3limx xx→；【解】这是“”型含三角函数极限，可考虑套用极限公式()0sin ()lim1()f x f x f x →=： 为将tan3x 化出sin3x ，利用sin 3tan 3cos3xx x=，得：0tan 3lim x x x →0sin 33lim 3cos3x x x x →=⋅313cos0=⨯=。

⑵1lim sin x x x→∞； 【解】由于1lim sin x x→∞sin 00==，这是“0⨯∞”型极限，应化为商式极限求解：1lim sin x x x →∞101sinlim1xx x→=， 这又成为了“”型含三角函数极限，可考虑套用极限公式()0sin ()lim1()f x f x f x →=： 101sinlim 11xx x→=，亦即1lim sin 1x x x →∞=。

⑶0lim cot x x x →；【解】由于0limcot x x →=∞，这是“0⨯∞”型极限，应化为商式极限求解：0lim cot x x x →0limtan x xx→=，这又成为了“”型含三角函数极限，可考虑套用极限公式()0sin ()lim1()f x f x f x →=： 同样利用sin tan cos xx x=，得： 00lim lim cos tan sin x x x x x x x→→=⋅1cos01=⨯=， 亦即0lim cot 1x x x →=。

⑷01cos 2limsin x xx x→-；【解】这是“”型含三角函数极限，可考虑套用极限公式()0sin ()lim1()f x f x f x →=： 为将1cos2x -化出正弦函数，利用2cos 212sin x x =-，得：01cos 2lim sin x x x x →-202sin lim sin x x x x →=0sin 2lim x xx→=212=⨯=。

⑸sin limx xxππ→-；【解】这是“”型含三角函数极限，可考虑套用极限公式()0sin ()lim1()f x f x f x →=： 由于不可能将x π-转化为x ，应考虑利用诱导公式，将sin x 转换为sin()x π-，得：sin limx x x ππ→-0sin()lim x x x πππ-→-=-1=。

⑹0lim x +→；【解】这是“”型含三角函数极限，可考虑套用极限公式()0sin ()lim1()f x f x f x →=： 为将根号去掉，并将余弦函数转化为正弦函数，可利用2cos 12sin2xx =-，得：lim x +→0limx +→=0lim sin2x x +→=0lim sin 2x x x +→=02lim sin2x x x +→=1== ⑺0sin limsin x x xx x→-+；【解】这是“”型含三角函数极限，可考虑套用极限公式()0sin ()lim1()f x f x f x →=： 0sin lim sin x x x x x →-+0sin 1lim sin 1x xx x x→-=+11011-==+。

⑻lim 2sin2nnn x→∞（x 为不等于零的常数）。

【解】由于lim sin 2n n x →∞sin 00==，知lim 2sin 2nn n x →∞属于“0⨯∞”型极限，应化为商式极限求解：lim 2sin 2n n n x →∞sin 2lim12n n n x →∞=sin 2lim 2nn nx x x →∞=⋅1x x =⨯=。

2．计算下列极限： ⑴10lim(1)xx x →-；【解】这是“1∞”型极限，可考虑套用极限公式1()()0lim [1()]f x f x f x e →+=：10lim(1)x x x →-1(1)0lim[1()]xx x ⨯--→=+-11lim{[1()]}x x x --→=+-1e -=。

⑵21lim()xx x x→∞+； 【解】这是“1∞”型极限，可考虑套用极限公式1()()0lim [1()]f x f x f x e →+=：21lim()x x x x →∞+21lim[(1)]x x x →∞=+2e =。

⑶1lim(1)kxx x→∞-（k N ∈）； 【解】这是“1∞”型极限，可考虑套用极限公式1()()0lim [1()]f x f x f x e →+=：1lim(1)kx x x →∞-()1lim(1)x k x x -⨯-→∞=+-1lim[(1)]x k x x --→∞=+-k e -=。

⑷3lim()1x x x x+→∞+； 【解】这是“1∞”型极限，可考虑套用极限公式1()()0lim [1()]f x f x f x e →+=：【解法一】3lim()1x x x x +→∞+12lim()1x x x x ++→∞=+12lim()()11x x x x x x+→∞=++1(1)211lim(1)()11x x x x x+⨯--→∞-=+++ 112111lim[(1)]()111x x x x+--→∞-=+++1211e e --=⨯=。

【解法二】3lim()1x x x x +→∞+31lim()11x x x +→∞=+31lim 1(1)x x x →∞+=+31lim11(1)(1)x x x x →∞=++ 111e e -==⨯。

⑸10lim(1)x xx xe →+；【解】这是“1∞”型极限，可考虑套用极限公式1()()0lim [1()]f x f x f x e →+=：10lim(1)x xx xe →+1lim(1)xxe x xex xe ⋅→=+1lim[(1)]x xx e xe x xe →=+0e e e ==。

⑹lim()xx x a x a→∞+-（a R ∈）. 【解】这是“1∞”型极限，可考虑套用极限公式1()()0lim [1()]f x f x f x e →+=：【解法一】lim()x x x a x a →∞+-lim()x a a x x a x a -+→∞+=-lim()()x a ax x a x a x a x a-→∞++=--222lim(1)()x a a a a x a x a x a x a-⨯→∞+=+-- 2212lim[(1)]()1x a aa a x a ax a x ax-→∞+=+--210()10a ae +=-2a e =。

【解法二】lim()x x x a x a →∞+-1lim()1x x a x a x →∞+=-(1)lim (1)xx x a x a x →∞+=-()(1)lim (1)xa a x x a aa x a x⨯→∞⨯--+=-+ [(1)]lim [(1)]xaa x x aa a x ax→∞--+=-+2a a a e e e -==。

3．已知2lim()3xx x c x c→∞+=-，求常数c . 【解】先求出2lim()xx x c x c→∞+-，这有如下两种解法：【解法一】2lim()x x x c x c →∞+-()222lim(1)x c c c c x c x c -+→∞=+-2222lim[(1)](1)x c cc c x c c x c x c-→∞=++-- 21c c e =c e =。

【解法二】由于2lim()xx x c x c →∞+-21lim()1x c c x cx c x ⨯→∞+=-+2(1)lim[](1)x c c x x c c x c x →∞+=-+21(1)lim[][(1)]xc c x x c c x c x→∞--+=-+ 2221[][]c cc e e e e-=== 即由已知得3ce =，从而知ln3c =。

4．利用极限存在准则证明： ⑴222111lim ()12n n n n n n πππ→∞+++=+++； 【证明】由于在括号内的n 个分式中，分母最大的是2n n π+，最小的是2n π+，因此这n 个分式中最小的是21n n π+，最大的是21n π+，从而有222221112n nn n n n n n n πππππ≤+++≤+++++， 可得2222222111()2n n n n n n n n n n πππππ≤+++≤+++++， 而2221lim lim 11n n n n n ππ→∞→∞==++，221lim lim 11n n n n n nππ→∞→∞==++， 即由夹逼准则得，222111lim ()12n n n n n n πππ→∞+++=+++。

证毕。

⑵01x →=。

【证明】由于0x →，故不妨设11x -<<，又因0x →的方式可以分为0x -→和0x +→， 从而可以分10x -<<和01x <<两种情况进行证明：①当10x -<<时，有011x <+<，使指数函数(1)vu x =+是减函数，于是由110n>>得到110(1)(1)(1)n x x x +<+<+，亦即11(1)1nx x +<+<， 而0lim(1)1x x -→+=，0lim 11x -→=，即由夹逼准则得，10lim (1)1nx x -→+=，亦即0lim 1x -→=； ②当01x <<时，有112x <+<，使指数函数(1)vu x =+是增函数，于是由101n<<得到101(1)(1)(1)n x x x +<+<+，亦即11(1)1nx x <+<+， 而0lim(1)1x x +→+=，0lim 11x +→=，即由夹逼准则得，10lim (1)1nx x +→+=，亦即0lim 1x +→=，综上有0lim 1x -→=，0lim 1x +→=，从而得 01x →=。

证毕。

5，…的极限存在，并求出极限。

【证明】⑴先证明数列有界：令1a =2a =3a =，…，可见n a =0n a >由于12a =<，22a =<=，…，假设12n a -<，于是，有n a =2<=，由数学归纳法知，对一切n N +∈，均成立02n a <<，可知该数列有界。

⑵再证明数列单调：由于n a =有11n n n a a a ---==2=0=>，亦即1n n a a ->必有极限。

【解】设数列的极限值为a ，对等式n a =两端求极限，得a =22a a =+，求得其正数解为2a =。