应力状态分析
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§13-2 平面应力状态分析
1. 求斜截面上的应力
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Fn 0
dA ( xdAcos )sin ( xdAcos )cos ( ydAsin )cos ( ydAsin )sin 0
Ft 0
dA ( xdAcos )cos ( xdAcos )sin ( ydAsin )sin ( ydAsin )cos 0
第十三章 应力状态分析
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第 13 章 应力状态分析
§13-1 概 述 §13-2 平面应力状态分析 §13-3 平面应力状态下的胡克定律 §13-4 三向应力状态
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§13-1 概 述
1. 应力状态的概念
应力状态 ： 过一点所有各方向截面上的应力全部情况称
的主应力，约定三个主应力按代数值大小排序。
1 2 3
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分类
(a) 单向应力状态：只有一个主应力不为零。
(b) 平面（二向）应力状态 有两个主应力不为零。
(c) 空间（三向）应力状态 三个主应力均不为零。
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6. 平面（二向）应力状态分析
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tan(20
)
(
x
x
y
)
/
2
20
arctan
x
2 x
y
1
x
2
y
(
x
2
y
)2
2 x
2
x
2
y
(
x
2
y
)2
2 x
3 0
平面（二向）应力状态为有两个主应力不等于 零的应力状态。
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t
an(20
)
(
x
x
y
)/
2
20
arctan
FN / A F / A F F
p F / A F cos / A 0 cos
0 cos2 , 0(sin 2 ) / 2 00 时,
max 0 450 时,
max 0 / 2
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类似地，受扭杆件通过杆内任意一点所作各个 截面上的应力也随着截面的方位而改变。
低碳钢轴向拉伸时，沿45º斜截面（最大切应力 面）滑移而产生屈服流动。断口有颈缩现象。
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低碳钢扭转： 沿横截面剪断破坏。
铸铁扭转： 沿斜截面拉断破坏。
铸铁的所谓扭转破坏，其实质上是沿45º方向拉 伸引起的断裂。
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作构件强度计算时，对于轴向拉压和纯弯曲的 构件，由于其材料处于单向拉伸或压缩状态，故可 根据构件横截面上的正应力与也是单向拉伸（压缩） 时材料的许用应力加以比较来建立强度条件。
各向同性材料在平面应力状态下，当变形微小 时，线应变只与该点处的正应力相关，而与切应力 无关。在线弹性且变形微小时，可将任意的平面应 力状态看作两个单向应力状态和一个纯剪切应力状 态的叠加。
对单向应力状态： E，泊松比 ， G
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平面应力状态下的应变：
x
x
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x
y
2
x
y
2
cos 2
x
sin 2
x
y
2
sin 2
x cos2
(
x
y )2
2
2
(
x
y )2
2
x2
(10 1) (10 2) (10 3)
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2. 作应力圆
应力圆方程：(
x
y )2
2
2
(
x
y )2
应力圆如右图。
(5) 常见的平面应力状态
已知 : x , y 0, xy
代入公式求得
max
min
2
( 2)2 2
问题:在基本变形中, 杆件内那些点为上述应力
状态？根据上述结果可以确定三个主应力的顺序
吗?
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§13-3 平面应力状态下的胡克定律
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角度的取值范围和对应关系：
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3. 主应力与主平面
单元体内切应力为零的截面称为主平面，主平 面上的正应力是单元体内各截面上正应力的极值， 称为主应力。
可以证明，受力物体内任何一点处至少有三个 相互垂直的主平面和三个相应的主应力。
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45, min 45, max
根据对应力状态的分析，可以了解杆件中材料 破坏的力学因素，并建立强度条件。
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回顾单向应力状态的情况
铸铁轴向拉伸： 沿横截面拉断破坏，断 口平齐。
铸铁轴向压缩： 沿斜截面剪断破坏。 （超过了铸铁材料的 抗剪强度）
每个面上应力均匀分布，相 互平行的一对面上应力相等， 且等于杆件相应截面上该点 的应力。
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应力符号规定： 正应力—拉为正，压为负，切应力—从坐标轴 正向看，绕单元体内任意点顺时针转时为正， 反之为负。 (2) 点的应力状态分类
主平面 无切应力，只有正应力的平面。
主应力 主平面上的正应力。 对任一点必存在三个相互垂直的主平面及相应
值为max=(1-2)/2，作用在自1作用截面逆时针旋
转45º的面上；(2) 该截面上还有正应力，其值为
(1+2)/2。
(a)
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思考题 13-3
求图示应力状态下单元体的与纸面垂直的任意 斜截面上的应力。
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平面应力状态的应力圆
1 2 3
x
2 x
y
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思考题 13－1
如图所示的三个单元体是否处于平面应力状态？
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思考题13 -1参考答案：
单向应力状态 平面应力状态 单向应力状态
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思考题 13-2
根据图示应力圆是否可知，对于图(a)示的单 元体，(1) 垂直于 x y平面的截面上之最大切应力其
为该点的应力状态。 应力状态分析 ：
分析一点的应力随截面方位改变而变化的规 律。 应力状态分析的目的：
为强度分析打基础。了解强度破坏的力学因 素。
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通过杆内任意一点所作各个截面上的应力随着 截面的方位而改变。
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例如轴向拉压时杆件斜截面上的应力分析。
E
y
E
y
y
E
x
E
zxyGEx
(
x
y
)
上式即为平面应力状态下的胡克定律。
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平面应力状态下的胡克定律的另一表达式：
x
1
E
2
(
x
y
)
y
E
1
2
(
y
x )
z 0 x G xy 注意：z = 0，但z≠0。
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例题 13－1 已知|a |+|b |= 40010-6 ，E=200
平面应力状态
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单向应力状态
平面应力状态
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4. 小结
(1) 一点的应力随截面方位的改变而变化。
x
2
y
x
y
2
cos 2
x sin 2
x
y
2
sin 2
x cos2
(2) 切应力极值：
(
x
y )2
2
2 x
2
1
2
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点处两个不为零的主应力之方向
的情况下，才只需测定这两个主
应力方向的线应变。
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§13-4 三向应力状态
三向应力状态（空间应力状态）：三个主应力 均不为零。
1 2 3
平面应力状态（三向应力状态的特例）
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单向应力状态（三向应力状态的特例）
0
1 arctan( 2
2 xy x
)
y
0
1 arctan( 2
2 xy x
)
y
π 2
max
min
xy
2
(
x
2
y
)2
2 xy
另一主应力为零。
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