高考数学一轮复习解三角形题型归纳教案
集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN]
即由指北方向逆时针旋转到达目标方向；
③南偏本等其他方向角类似。

ab C=
sin
2
ABC中，sin A≤
π
(0,]
6
222()2cos f x b x bc A x c =++=2222(cos )cos bx c A c c A ++-，因为2cos A 1,所以
222cos c c A -0，因此()f x 0恒成立，所以其图像与X 轴没有交点。

题型2 三角形解的个数
[例3]在ABC ∆中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是【 】
A 、7=a ，14=b ，︒=30A ；
B 、25=b ，30=c ，︒=150
C ； C 、4=b ，5=c ，︒=30B ；
D 、6=a ，3=b ，︒=60B 。

题型3 面积问题
[例4] ABC ∆的一个内角为120°，并且三边构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为
【解析】设△ABC 的三边分别：x －4、x 、x ＋4，
∠C=120°，∴由余弦定理得：﹙x ＋4﹚2=﹙x －4﹚2＋x2－2×﹙x －4﹚×x×cos120°，解得：x=10 ∴△ABC 三边分别为6、10、14。

题型4 判断三角形形状
[例5] 在ABC ∆中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +⋅-=-⋅+,判断该三角形的形状。

【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。

方法一：22[sin()sin()][sin()sin()]a A B A B b A B A B --+=-+-- 由正弦定理，即知22sin cos sin sin cos sin A A B B B A = 由0
2,22A B
π，得22A B =或22A B π=-
即ABC ∆为等腰三角形或直角三角形
方法二：同上可得222cos sin 2cos sin a A B b B A =
由正、余弦定理，即得：2222222222b c a a c b a b b a bc ac +-+-=
即22222()()0a b c a b ---=
a b ∴=或222c a b =+
即ABC ∆为等腰三角形或直角三角形
【点拨】判断三角形形状问题，一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系，通过因式分解等方法化简得到边与边关系式，从而判断出三角形的形状；（角化边）
二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系，通过三角恒等变形以及三角形内角和定理得到内角之间的关系，从而判断出三角形的形状。

（边化角）
1在△ABC 中，bCosA=acosB ，则三角形为( )
A 直角三角形
B 锐角三角形
C 等腰三角形
D 等边三角形
2在△ABC 中，若a2＞b2+c2，则△ABC 为 ；若a2=b2+c2，则△ABC 为 ；若a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，则△ABC 为
3在△ABC 中，sinA=2cosBsinC ，则三角形为 题型5 正弦定理、余弦定理的综合运用
[例6]在ABC ∆中，,,a b c 分别为角A ，B ，C 的对边，且sin sin sin ()A C p B p R +=∈且
214
ac b =
（1）当5
,14
p b ==时，求,a c 的值；
（2）若角B 为锐角，求p 的取值范围。

【解析】（1）由题设并由正弦定理，得51,44a c ac +==，解得，11,4a c ==或1
,14
a c ==
（2）由余弦定理，
2222cos b a c ac B =+-=2222211
()22cos cos 22a c ac ac B p b b b B +--=--
即231
cos 22
p B =+，因为0cos 1B ，所以23(,2)2p ∈，由题设知0p ，所以
6
22
p 题型6、解三角形的实际应用
如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当
甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的1B 处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B 处，此时两船相距
102海里，问乙船每小时航行多少海里
【解题思路】解决测量问题的过程先要正确作出图形，把实际问题中的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角.本题应先利用S vt =求出边长,再进行进一步分析. [解析]如图，连结11A B ，由已知22102A B =，
1220
30210260A A =⨯=，
1221A A A B ∴=，
又12218012060A A B =-=∠，
122A A B ∴△是等边三角形，
1212102A B A A ∴==，
由已知，1120A B =，1121056045B A B =-=∠，
在121A B B △中，由余弦定理，22212
111212122cos 45B B A B A B A B A B =+- 222
20(102)2201022
=+-⨯⨯⨯
200=．12102B B ∴=． 因此，乙船的速度的大小为
102
6030220
⨯=（海里/小时）． 北
甲
乙。