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荆州中学2020年高一3月月考数学(理)试卷及答案

荆州中学高一年级下学期第一次质量检测数学卷(理科)命题人: 审题人:一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集U=R ,A=}02|{2≤-x x x ,B=},cos |{R x x y y ∈=, 则图中阴影部分表示的区间是( ) A.[0,1]B.[-1,2]C.),2()1,(+∞--∞YD.),2[]1,(+∞--∞Y 2.若0.5222,ln 2,log sin 5a b c π===,则( ) A .a b c >>B .b a c >>C .c a b >>D .b c a >>3.在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、,已知3,3a b A π===,则角B 等于 ( )A. 4πB. 34πC. 4π或34π D. 以上都不对4.若{}n a 是等差数列,则下列数列中仍为等差数列的个数有 ( )① {}12+n a , ② {}2n a , ③ {}1n n a a +-, ④ {}2n a n +A .1个B .2个C .3个D .4个 5.若3log 41x =,则44x x -+=( )A. 1B. 2C. 83D. 1036.设,x y ∈R ,向量(,1),(1,),(2,4)===-r r ra xb yc 且//,⊥,则=a b +r r ( )B.7.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,111a =- ,564a a +=-,n S 取得最小值时n =( ) A .6B .7C .8D .98.某校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度o 15的看台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为o 60和o 30,第一排和最后一排的距离为56米(如图所示),旗杆底部与第一排在同一个水平面上.若国歌长度约为50秒,要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部,升旗手升旗的速度应为( )(米 /秒)A .110B .310C .12D .7109.将函数()3cos sin f x x x =+的图像向左平移(0)m m >个单位长度后,所得到的函数图像关于y 轴对称,则实数m 的最小值是( )A .12πB .6πC .3π D .512π10.在D ABC 中,(cos18,cos72)AB =︒︒u u u v ,(2cos63,2cos27)BC =︒︒u u u v,则D ABC 面积为( ) A .42 B .22 C .23 D .211.已知函数()sin 6f x A x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0,02A πϕ⎛⎫><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示,,P Q 分别为该图象的最高点和最低点,点P 的坐标为()2,A ,点R 坐标为()2,0.若23PRQ π∠=,则函数()y f x =的最大值及ϕ的值分别是( )A .3,6πB .3,3πC .23,6πD .23,3π12.已知数列{}n a 是等差数列,且52a π=,若函数2()sin 22cos 2xf x x =+,记56()n n y f a =,则数列{}n y 的前9项和为( )A .0B .-9C .9D .1 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.函数213log log y x=()的定义域为 . 14.在ABC △中,1,45a B ==︒,ABC △的面积=2S ,则ABC △的外接圆的直径为 .15..在边长为1的等边ABC ∆中,点P 为边BC 上一动点,则PA PB ⋅u u u v u u u v的最小值为 .16.设奇函数()x 在[1,1]-上是增函数,且(1)1f -=-,若函数2()21f x t at ≤-+对所有的[1,1],[1,1]x a ∈-∈-都成立,则t 的取值范围是 .三、解答题:本大题共6个小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分 )已知|a |=1,|b |=2,|a -b ,求:(1)a ⋅b ;(2) a -b 与a +b 的夹角的余弦值;18.(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 前三项的和为3-,前三项的积为8. (Ⅰ)求等差数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)若{}n a 满足2312a a a =,求数列{||}n a 的前10项的和10S .19.(本小题满分12分)在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、,且满足c =cos (2)cos 0c B b a C +-=(1)求角C 的大小; (2)求△ABC 面积的最大值.20.(本题满分12分)已知函数f(x)=x x x 22cos 2)cos (sin -+(R x ∈).(1)求函数f(x)的周期和递增区间;(2)若函数m x f x g -=)()(在[0,2π]上有两个不同的零点x 1、x 2,求实数m 的取值范围.并计算tan(x 1+x 2)的值. 21.(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为S n ,点, nS n n ⎛⎫⎪⎝⎭在直线4+=x y 上.数列{}n b 满足2120n n n b b b ++-+=*()n N ∈,且84=b ,前11项和为154.(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式;(2)设⎪⎩⎪⎨⎧∈=∈-==).,2(,),,12(,)(**N l l n b N l l n a n f n n 是否存在*m N ∈,使得)(3)9(m f m f =+成立?若存在,求出m 的值;若不存在,请说明理由.22.(本小题满分12分)已知函数⎪⎭⎫⎝⎛--=x mx x f 11lg )(为奇函数.(1)求m 的值,并求f (x)的定义域;(2)判断函数)(x f 的单调性,不需要证明;(3)若对于任意⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ,是否存在实数λ,使得不等式恒成立03lg )31sin (cos 2>--+θλθf .若存在,求出实数λ的取值范围;若不存在,请说明理由.荆州中学高一年级下学期第一次质量检测数学卷(理科) 参考答案13、(0,1) 14、、116- 16、220t t t ≥≤-=或或三、解答题;17、解、(1)由题意:222727a b a a b b -=⇒-⋅+=r r r r r r212471ab a b -⋅+=⇒⋅=-r r r r……………………4分(2)22()()143a b a b a b -+=-=-=-r r r r r ra b +===r r ……………………7分设a b -r r 与a b +r r 的夹角为α,则是()()cos a b a b a b a b α-+===-⋅+r rr r r r (10)分18、解:(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ,则21a a d =+,312a a d =+,由题意得1111333,()(2)8.a d a a d a d +=-⎧⎨++=⎩ 解得12,3,a d =⎧⎨=-⎩或14,3.a d =-⎧⎨=⎩所以由等差数列通项公式可得23(1)35n a n n =--=-+,或43(1)37n a n n =-+-=-.故35n a n =-+,或37n a n =-. ……………………6分 (Ⅱ)当35n a n =-+时,2a ,3a 不满足1a 2312a a a =;当37n a n =-时,2a ,3a ,1a 满足1a 2312a a a =. 故37,1,2,|||37|37, 3.n n n a n n n -+=⎧=-=⎨-≥⎩记数列{||}n a 的前n 项和为n S .当1n =时,11||4S a ==;当2n =时,212||||5S a a =+=;当3n ≥时,234||||||n n S S a a a =++++L 5(337)(347)(37)n =+⨯-+⨯-++-L2(2)[2(37)]311510222n n n n -+-=+=-+.所以10105S = (12)分19.解:(1) 由正弦定理得:∴ sin cos sin cos 2sin cos 0C B B C A C +-= ……………2分 ∴ sin 2sin cos 0A A C -=∵ sin 0A ≠∴ 1cos 2C = (4)分∴ 3C π= ……………………………………………………………………6分(2)由正弦定理得sin sin sin sin 3a b c A B C π===得, 4sin ,4sin ,a A b B ==又23A B π+=,23B A π=-,…………………………… 8分 ∴△ABC面积12sin sin sin()23S ab C A B A A π===-,化简得:)6S A π=- (10)分 当3A π=时,S有最大值,max S =。

(12)分20、解:(1)f(x)=)42sin(22cos 2sin cos 2)cos (sin 22π-=-=-+x x x x x x (R x ∈).由224222πππππ+≤-≤-k x k ⇒838ππππ+≤≤-k x k (Z k ∈),∴函数f(x)的周期为π=T ,递增区间为[8ππ-k ,83ππ+k ](Z k ∈);………6分 (2)∵方程0)()(=-=m x f x g 同解于m x f =)(;在直角坐标系中画出函数f(x)=)42sin(2π-x 在[0,2π]上的图象,由图象可知,当且仅当1[∈m ,)2时,方程m x f =)(在[0,2π]上的区间[4π,83π)和 (83π,2π]有两个不同的解x 1、x 2,且x 1与x 2关于直线83π=x 对称,即83221π=+x x ,∴4321π=+x x ;故1)tan(21-=+x x . ……………12分 21、解:(1)由题意,得4+=n nS n,即n n S n 42+=. 故当2n ≥时,1n n n a S S -=-=n n 42+-)1(4)1(2---n n 32+=n . 注意到1n =时,511==S a ,而当1n =时,54=+n , 所以, 32+=n a n *()n N ∈.又2120n n n b b b ++-+=,即211n n n n b b b b +++-=-*()n N ∈,所以{}n b 为等差数列,于是1542)(1184=+b b . 而84=b ,故208=b ,34820=-=d , 因此,43)4(34-=-+=n n b b n ,即43)4(34-=-+=n n b b n *()n N ∈. ……………………6分(2)⎪⎩⎪⎨⎧∈=-∈-=+=),2(43),12(32)(**N l l n n N l l n n n f ① 当m 为奇数时,9+m 为偶数.此时2334)9(3)9(+=-+=+m m m f ,96)(3+=m m f 所以96233+=+m m , *314N m ∉=(舍去) ② 当m 为偶数时,9+m 为奇数.此时,2123)9(2)9(+=++=+m m m f ,129)(3-=m m f , 所以129212-=+m m ,*733N m ∉=(舍去). 综上,不存在正整数m ,使得)(3)9(m f m f =+成立. …………12分22解. (1)∵函数⎪⎭⎫⎝⎛--=x mx x f 11lg )(为奇函数,)()(x f x f -=-∴在定义域内恒成立即22211,11lg )11lg(x x m x mx x mx -=-∴⎪⎭⎫ ⎝⎛---=++在定义域内恒成立, 111-==-=∴m m m (舍去),即或,011>-+xx故函数的定义域是)1,1(-.-----------------4分(2) )1(11lg )(<<-⎪⎭⎫⎝⎛-+=x x x x f ,任取1121<<<-x x设)1(11)(<<--+=x xxx u ,)1)(1()(21111)()(2121221121x x x x x x x x x u x u ---=-+--+=- ∵1121<<<-x x ,0)()(21<-x u x u ,∴)(lg )(lg 21x u x u >),()(21x f x f <∴即)(x f 在定义域内单调递增 ------7分(3)假设存在实数λ,使得不等式恒成立03lg )31sin (cos 2>--+θλθf恒成立)21(3lg )31sin (cos 2f f =>-+θλθ由(1),(2)知:131sin cos 212<-+<θλθ 对于任意⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+-<-+-⇔2131sin sin 1131sin sin 122θλθθλθ, 当θ=0时成立;当⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πθ时,令sinθ=t,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->+-<+-⇔65332613122λλλλt t t t 即33265<<λ -----12分。

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