第九章 静电场中的导体与电介质 1第九章 静电场中的导体与电介质§9-1 导体和电介质【基本内容】一、导体周围的电场导体的电结构：导体内部存在可以自由移动的电荷，即自由电子。
静电平衡状态：导体表面和内部没有电荷定向移动的状态。
1、导体的静电平衡条件（1）导体内部场强处处为零0=内E; （2）导体表面的场强和导体表面垂直。
2、静电平衡推论（1） 静电平衡时，导体内部（宏观体积元内）无净电荷存在； （2） 静电平衡时，导体是一个等势体，其表面是一个等势面。
3、静电平衡时导体表面外侧附近的场强εσ=E4、静电平衡时导体上的电荷分布（1） 实心导体：电荷只分布在导体表面。
（2）空腔导体（腔内无电荷）：内表面不带电，电荷只分布在导体外表面。
（3）空腔导体（腔内电荷代数和为q ）：内表面带电q -，导体外表面的电荷由电荷的守恒定律决定。
5、静电屏蔽导体上电荷分布的结果，使空腔内部电荷的运动不影响导体外部的电场；导体外部电荷的运动，不影响导体空腔内部的电场。
二、电介质与电场1、电介质的极化（1）电介质的极化：在外电场作用下，电介质表面和内部出现束缚电荷的现象。
（2）极化的微观机制电介质的分类：（1）无极分子电介质——分子的正、负电荷中心重合的电价质；（2）有极分子电介质——分子的正、负电荷中心不重合的电介质。
极化的微观机制：在外电场作用下，（1）无极分子正、负电荷中心发生相对位移，形成电偶极子，产生位移极化；（2）有极分子因有电偶矩沿外电场取向，形成取向极化。
2、电介质中的电场 （1）电位移矢量E Dε=其中ε——介电质的介电常数，0εεεr =，r ε——介电质的相对介电常数。
（2）有电解质时的高斯定理∑⎰=⋅0q S d D S，式中∑0q 指高斯面内自由电荷代数和。
【典型例题】【例9-1】三个平行金属板A 、B 和C ，面积都是200cm ２，A 、B 相距4.0mm ，A 、C 相距2.0mm ，B 、C 两板都接（1）求B （2【解】（1A 板的电位为U 即所以221212σσσ==d （3）将(3)式代入(1)式，得S Q /31=σ（4）由(4)式可求得B 板上的感应电荷为C Q S Q 7110.13/-⨯-=-=-=σ同理可得C 板上的感应电荷为C Q S Q 7220.23/2-⨯-=-=-=σ（3）由(2)式可求得A 板上的电位为V d SQd d E U A 310101111025.23⨯====εεσ 【讨论】导体接地的含义主要有两点：（1）导体接地后与地球同电势，一般定义为电势零点。
（2）带电导体接地，接地线提供了与地球交换电量的通道，至于电荷向哪流动，取决于导体接地前的电势是高于大地，还是低于大地。
当导体的电势高于大地时，接地后将有正电荷由导体流向大地，直到导体与大地电势相等为止。
【例9-2】 半径为R ，带电量为q 的金属球，浸于相对介电常为εr 的油中。
求： （1） 球外电场分布。
（2） 极化强度矢量。
（3）金属球表面油面上的束缚电荷和束缚电荷面密度。
【解】 （1）求电位移矢量 取半径为r 的球面为高斯面，则第九章 静电场中的导体与电介质 3（2由介质性质方程（3∧-=-=r r q E P r r r204)1()1(πεεεε（4）求束缚电荷及束缚面电荷密度2/4)1(cos rq P P n P r r πεεθσ--=-==⋅=q r dS r q S d r r q S d P q r S r r S r r )11(4)1(4)1(222'-=-=⋅--=⋅-=⎰⎰⎰∧επεεπεε 【讨论】电介质问题求解方法：所涉及的物理量：q P E D '',,,.,σ求解方法：（1）求电位移矢量∑⎰=⋅0q S d D S，（2）求电场强度E ED rεεε==0，（3）求极化强度矢量E P r )1(0-=εε，（4）求束缚电荷面密度θσcos /P n P =⋅= ，（5）求束缚电荷⎰⋅-='S d P q 。
【分类习题】【91】 大小为25C N /提示：将地球【9-2】 为0E 图7-2【9-3】 分别带电1Q 和2Q （1） 求A 、（2） 如【9-4】有两块面积均为S 的相同金属板，两板间距离为d ，S d <<2，其中一块金属板带电量为q ，另一块金属板带电量为q 2，求两板间的电势差。
【9-5】在半径为R 的金属球之外包有一层均匀介质层，介质层的外半径为/R 。
设电介质的相对介电常数为r ε，金属球带电为Q ，求： （1） 介质层内外的场强分布； （2） 介质层内外的电势分布。
§9-2 电容 电容器【基本内容】一、孤立导体的电容：表征导体容电能力的物理量。
Uq C =二、电容器及其电容实际孤立导体是不存在的，导体周围有其它物体时，其电势将发生变化，从而其电容随周围物体的性质而变化。
电容器的电容：BAU U q C -=电容器中一般充满电解质，电解质的作用有两个： （1） 增大电容；（2） 增强电容器的耐电压能力。
三、电容器的串联与并联串联：nC C C C111121++= 并联：n C C C C ++=21四、常见电容器的电容1、平行板电容器的电容 dS C r εε0=2、球形电容器的电容122104R R R R C r -=επε3、柱形电容器的电容 )/ln(2120R R L C r επε=五、电场的能量1、电容器的储能222121CU C Q W ==第九章 静电场中的导体与电介质 52、电场的能量、能量密度电场的能量密度：E D E e ⋅==21212εω 电场的能量：⎰=V e dV W ω【典型例题】【例9-3】平行板电容器（极板面积为S ，间距为d ）中间有两层厚度各为1d 和2d 的均匀介质，介电常数分别为1ε和2ε，如图例7-3法一；按定义设极板带自由电荷Q ，大小SQD =别为S Q E 11ε=和E 1=势差为21212211d E d E U =+=按定义122121εεεεd d S U QC +==法二：按电容器的连接将整个电容器看成两个充满介质1ε和2ε的电容器的串联，两个电容器的电容分别为111d SC ε=，222d SC ε=由串联公式21111C C C += 可求得上面答案。
按定义求电容的方法：（1）设两极板分别带电+q 、-q ，（2）求两极间的电场，（3）求两极间的电势差，（4）求电容。
【例9-4】 求半径为R 。
、体电荷密度为ρ的均匀带电球体的静电能。
【解】 以半径为r 的球面为高斯面，则：24r E S d E Sπ⋅=⋅⎰⎰当r>R 时：∧==∑rr R E R q2033334ερρπ内当r<R 时：∧==∑rr E r q3334ερρπ内电场能量密度: 221E e εω=当r<R 时：02218ερωr =当r>R 时：406218r R ερω=电场能量5202462020220154418418R dr r r R dr r r dVdV dV W R RRR e ρεππερπερωωω=⋅+⋅=+==⎰⎰⎰⎰⎰∞∞0r（2）保持极间电压不变时221CU W =第九章 静电场中的导体与电介质 7抽出电介质前: 202112121U d S U C W r εε== 抽出电介质后: 202222121U dS U C W ε==电容器储能的改变量:0)1(22012<-=-=∆r dSU W W W εε电介质抽出后,极板电量改变:0)1(012<-=-=∆r dSUU C U C Q εε电源作功:0)1(20<-=∆=r dSU QU A εε电源由能量守恒定律:)1(20>-=-∆=⇒∆=+r dSU A W A W A A εε电源外电源外【分类习题】【9-6】平行板电容器电容pf C 100=，面积2100cm S =，两板间充满相对介电常数为=r ε6的云母片，将它接到V 50电源时，求：（1） 云母片中场强大小； （2） 导体板上自由电荷。
【9-7】来顿瓶是一内外贴有金属膜的圆柱形玻璃瓶。
设玻璃的相对介电常数为 5.0，击穿电场为m V /105.17⨯。
如玻璃瓶内径为cm 8，玻璃厚为mm 2，金属膜高为cm 40。
求：（1） 来顿瓶的电容。
（2）它最多能储存多少电量？（提示：内径处最先达到击穿电场）。
【9-8】两根无限长平行直导线相距为d ，半径均为R （)d R <<。
求该导体组单位长度的电容。
【9-9】分子的正负电荷中心重合的电介质叫做 电介质，在外电场的作用下，分子的正负电荷中心发生相对位移，形成 。
【9-10】当平行板电容器板间为真空时，其电容为0C ，板间场强为0E，电位移为0D 。
（1）如两板与一端电压相连，再充满相对介电常数为r ε的电介质，则电容为 ，场强为 ，电位移为 ；（2）如充电后将电源断开，再充满（1）中电介质，则电容 为，场强为 ，电位移为 。
【9-11】平行板电容器极板间充满相对介电常数为r ε的电介质，若极板上自由电荷面密度为σ，求电介质的电位移和场强。
【9-12】 电容器1和2串联后充电。
（1）保持连接电源，在电容器1中充满电介质，则电容器2上的电势差【9-22】 相距甚远的、半径均为cm 10的两导体球，分别充电至V 200和V 400，然后用一细导线连接使其电势相等。
求等势过程静电力的功。
【9-23】 空气平行板电容器，极板面积为S ，两极板间距为d ，如极板间电势差为U 。
求两极板间引力。
【9-24】 电容为C 的空气平行板电容器，极板间距为d ，充电后极板间作用力为F ，求： （1） 极板间电势差；（2）极板上电荷量。
分类习题答案【9-1】 （1）正电荷，210313/1085.8).2(,/104.4m C m C --⨯⨯【9-2】 00002,2εσεσ+-E E 图7-3Q1Q 2BDC图7-14图7-15(a )AB C第九章 静电场中的导体与电介质 9【9-3】0,,,0;2,2,2,21121122121SQ S Q S Q Q S Q Q S Q Q S Q Q -+--+【9-4】S qd02ε 【9-5】 （1）)(0R r <,)(4/20R r R rQ r <<επε,)(4/20R r rQ >πε（2）)(4)11(4/0/0R r R Q R R Q r<+-πεεπε，)(4)11(4//0/0R r R RQR r Q r <<+-πεεπε，)(4/0R r rQ >πε【9-6】 （1）m V /1042.93⨯ （2）C 9105-⨯【9-7】 F 91028.2-⨯，C 5107.6-⨯【9-8】 Rd ln 0πε【9-9】 无极，偶极子【9-10】 000,,D E C r r εε，000,/,D E C r r εε【9-11】 r εεσσ0,【9-12】 （1）增加，增加。