正多边形与圆
【重点、难点、考点】
重点：正多边形及正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念与计算；圆周长弧长、扇形及弓形的面积公式及有关的计算；正多边形与圆的关系及正多边形的性质．
难点：将较复杂的图形分割成扇形、弓形、三角形等基本图形进行计算是难点．
考点：将不能直接用公式计算的图形，转化成能用公式计算的图形，是近几年中考所考查的知识点，这部分知识的考查约占总考量的2％左右．
【典例精讲】
例1 ：已知一个正三角形与一个正六边形的周长相等，求它们的面积的比值．
解：设正三角形边长为a，则其周长为C1＝3a，面积S1＝
3
4
a2，又设正六边形边长为b，
则周长为C2＝6b．面积S2=33
2
b2，由C1=C2，
知,a=2b,∴S1∶S2=
3
4
a2∶
33
2
b2=3b2∶
33
2
b2=
2
3
,故它们的面积的比值为2∶3。
【解题技巧点拨】
本题必须抓住“周长相等”这一重要信息，找出两种图形的内在联系，然后利用三角形的面积公式计算。
例2 ：已知：如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，分别以各边为直径在AB同侧作半圆，求阴影部分的面积．
解：在Rt△ABC中，∵AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝5。
则图中阴影部分的面积为S阴
=1
2
π×(
3
2
)2+
1
2
π×(
4
2
)2+
1
2
×3×4-
1
2
π×(
5
2
)2=
9
8
π
+2π+6-
25
8
π
=6
故图中阴影部分的面积为S阴=6个（平方单位）．
【解题技巧点拨】
本题必须经过认真细致的观察，发现以AC、BC、AB为直径的三个半圆的面积，以及
Rt△ABC的面积之间的内在联系，然后利用圆的面积公式，三角形的面积公式进行计算．【综合能力训练】
一、填空题
1．扇形的圆心角为90°，半径为2cm，扇形的面积为cm2.
2．如图，⊙O的半径为1，圆周角∠ABC＝3O°，则图中阴影部分的面积
是．（结果用π表示）
3.我国国旗上五角星的每一个锐角是。
4. 一个正n边形的中心角是它的一个内角的1
5
，则n＝。
5. 在⊙O中，弦AB是内接正三角形的一边，弦AC是内接正六边形的一边，则∠BAC＝。
6．半径为5，孤长等于圆周长1
5
的扇形面积。
7．母线长为3cm，底面半径为1cm的圆柱侧面展开图的面积为cm2。
8．用一个半径为30cm，圆心角为120°的扇形纸片做成一个圆锥模型的侧面（不计接缝），那么这个圆锥底面的半径是cm.
二、选择题
9.已知正三角形的边长为a，其内切圆的半径为r，外接圆的半径为R,则r∶a∶R等于（）A．1∶23∶2 B．1∶3∶2 C.1∶2∶3 D.1∶3∶23
10.如果正多边形的一个内角是144°，则这个多边形是（）
A．正十边形B．正九边形C．正八边形D．正七边形
11.有一边长为4的正n边形，它的一个内角为120°，则其外接圆的半径为（）A．43B．4 C．23 D.2
12.下列命题中的真命题是（）
A ．正三角形的内切圆半径和外接圆半径之比为2∶1
B ．正六边形的边长等于其外接圆的半径
C ．圆外切正方形的边长等于其边心距的2倍
D ．各边相等的圆外切多边形是正方形 13.某校计划在校园内修建一座周长为12米的花坛，同学们设计出正三角形、正方形和圆共三种图案，其中使花坛面积最大的图案是（ ）
A ．正三角形
B ．正方形
C ．圆
D ．不能确定
14. 1994年版人民币一角硬币正面图案中有一个正九边形，如果这个正九边形的半径是R ，那么它的边长是（ ）
A ．Rsin20°
B ．Rsin40°
C ．2Rsin20°
D ．2Rsin40°
15.将一个边长为a 的正方形硬纸板剪去四角，使它成为正八边形，则正八边形的面积为（ ）
A ．()2222a -
B ．279a
C ．232a
D ．()2
322a - 16.如图两个同心圆，大圆的弦AB 与小圆相切于点P ，大圆的弦CD 经过点P ，且CD ＝13，PD ＝4，则两圆组成圆环的面积是（ ）
A ．16π
B ．36π
C ．52π
D ．81π
三、解答下列各题：
17.已知：如图P 是⊙O 外一点，PA 切⊙O 于A ，AB 是⊙O 的直径，PB 交⊙O 于C ，PA ＝2cm ，PC ＝1cm ，求图中阴影部分的面积S.
18．如图，把三个半径均为15cm的圆筒捆在一起，要用多长的绳子才能绕它们一圈？
19．如图，已知B是AC上一点，分别以AB、BC、AC为直径在AC同侧作半圆，过B作BD⊥AC，与半圆交于D，如果BD＝6，求图中阴影部分的面积．
20．如图，⊙O的内接正五边形AB CDE的对角线AD与BE相交于点M，（1）请你仔细观察图形，并直接写出图中的所有等腰三角形；（2）求证：BM2＝BE· ME；（3）设BE、ME的长是关于x的一元二次方程x2-25x+k＝0的两个根，试求k的值，并求出正五边形ABCDE的边长．
【创新思维训练】
21．已知，如图⊙O 和⊙O′相交于A 、B ，弦AC 、AD 分别与⊙O′，⊙O 相切于点A ，∠CAB ＝45°，∠BAD ＝30°，⊙O′的半径为 6cm.
求：（1）公共弦AB 的长及BC AC 2-AD BD
的值；（2）求图中阴影部分的面积。
22.如图，表示广场中心的圆形花坛的平面图，准备在圆形花坛内种植六种不同颜色的花，为了美观，要使同色花卉集中在一起，并且各花卉的种植面积相等，请你帮助设计一种种植方案作在圆上（保留痕迹，不写作法）．
23．某单位的办公室由四种正多边形的小木板铺成，设这四种正多边形的边数分别为 x 、y 、z 、w 。
试求：1111x y z w
+++的值．
参考答案
【综合能力训练】
一、1. π 2. 6π-43
3.36°
4.12
5.30°或90°
6.5π
7.6π
8.10cm 二、
9.A 10.A 11.B 12.B 13.C 14.C 15.A 16.B
三、17.( 435-2π
)cm 2 18.(90+3π)cm 19.9π 20.（1）（略） （2）（略） （3）k=4,边长为2
21.（1）62cm, 2 （2）(27+273)cm 2 22.（略） 23.1。