+典型正多边形和圆知识点整理
例题+课后试
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个性化辅导教案
学生年级： 上课时间：2016年 月 日 时 分至 时 分共 小时
教学标题 正多边形和圆
教学重难点 知识梳理：
1、 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形。
2、 正多边形的外接圆：一个正多边形的各个顶点都在圆上，我们就说这个圆是这个正多边形的外接圆。
把一 个正多边形的外接圆的圆心叫
做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做这个正多边形的半径，正多边形每 一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的
一边的距离叫做正多边形的边心距。
正多边形的中心角与外角的大小相等。
3、 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角和相等，都是 180°。
4、 圆内接正n 边形的性质(n >3,且为自然数)：
(1) 当n 为奇数时，圆内接正 n 边形是轴对称图形，有 n 条对称轴；但不是中心对称图形。
(2) 当n 为偶数时，圆内接正 n 边形即是轴对称图形又是中心对称图形，对称中心是正多边形的中心，即 外接圆的圆心。
5、 常见圆内接正多边形半径与边心距的关系：
(设圆内接正多边形的半径为
r ，边心距为d)
1
(1)圆内接正三角形：d r (2)圆内接正四边形：
d S
2
(3)圆内接正六边形：
d 3
2
2
6、常见圆内接正多边形半径
r 与边长x 的关系：
(1)圆内接正三角形：x
.3r
(2)圆内接正四边形：
x 2r
(3)圆内接正六边形：
x=r
7、正多边形的画法：画正多边形一般与等分圆正多边形周有关，要做半径为
R 的正n 边形，只要把半径为 R
的圆n 等分，然后顺次连接各点即可。
(1) 用量角器等分圆周。
(2)
用尺规等分圆(适用于特殊的正 n 边形)。
正n 边形每一个内角的度数为：
n 2
180
n 正n 边形的一个中心角的度数为:
学生姓名:
授课教师： ____________ 所授科目： _____________________ 360 n
8、定理1:把圆分成n(n > 3)等份：
(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形;
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。
说明：(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定，即：①依
次连结圆的n(n > 3)等分点，所得的多边形是正多迫形；②经过圆的n(n > 3)等分点作圆的切线，相邻切线相交成的多边形是正多边。
•
(2) 要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件。
(3) 此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形。
定理2: 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是冋心圆。
经典例题
例1、已知正六边形ABCDEF如图所示，其外接圆的半径是a, ?求正六边形的周长和面积。
分析：要求正六边形的周长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂
上钩，很自然应连接0A过0点作OM L AB垂于M,在Rt△ AOM中便可求得AM,又应用垂径定理可求得AB的
长•正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的。
例2 :已知O O和O O上的一点A（如图）.
（1）作O O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH
⑵在⑴题的作图中，如果点E在弧AD上,求证：DE是O O内接正十二边形的一边
例3仲考）：
如图，在桌面上有半径为2 cm的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆片的半径最小应为多少？
课堂练习
:
选择题
1•一个正多边形的一个内角为120 °，则这个正多边形的边数为（）
3•如图所示，两个正六边形的边长均为1,其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上,
则这个图形（阴影部分）外轮廓线的周长是（）
A • 7
B • 8
C • 9
D • 10
4•如图4所示，正六边形ABCDE内接于O Q则/ ADB的度数是（）.
A • 60°
B • 45°
C • 30 °
D • 22 • 5°
5 •若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，？则这段弧所对的圆心角为（）
A • 18°
B • 36°
C • 72 °
D • 144°
6 •正六边形的周长为12,则同半径的正三角形的面积为______________________ ，同半径的正方形的周长为________________
7.正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为 _______________________ .
2 •如图所示，正六边形螺帽的边长是
cm
2cm,这个扳手的开口a的值应是（）
2^3
C •- cm
D • 1 cm
第3题图第4题图
Q,半径为2,求厶ABC的边长a,周长P,边心距r,面积S •8 •如图所示，正△ ABC的外接圆的圆心为
巩固练习
4. 正多边形的一个中「心角为36度，那么这个正多边形的一个内角等于________________ _ _______ 度.
5. 如图，两相交圆的公共弦AB为2 3，在O 01中为内接正三角形的一边，在O 02中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比
6. 某正多边形的每个内角比其外角大100°,求这个正多边形的边数
思路分析：由正多边形的内角与外角公式可求。