结论
②④⑤ ②③⑤ ②③④ ①④⑤ ①③⑤ ①③④ ①②⑤ ①②④
命题
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧． 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对 的另一条弧． 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧． 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平 分弦和所对的另一条弧． 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦 ，并且平分弦所对的另一条弧． 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦．
M
C A O 证明：作直径MN垂直于弦AB D ∵ AB∥CD B ∴ 直径MN也垂直于弦CD ⌒ ⌒ ∴AM＝BM， ⌒ ⌒ CM＝DM ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴AM－CM ＝BM－DM ⌒ ⌒ 即 AC＝BD
N
两条弦在圆心的同侧
垂径定理的推论2 有这两种情况： O A C D A O C D B B
O
题设
③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 结论
垂径定理的推论1
① 直径过圆心 ③ 平分弦 C ② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
A
E
O B
已知：CD是直径，AB是弦，CD平分AB 求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
D
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧．
⌒ ⌒
D （2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平 分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
垂径定理的推论1
① 直径过圆心 ⑤ 平分弦所对的劣弧 C ③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧 ② 垂直于弦
⌒ ⌒
A
E
O B
已知：CD是直径，AB是弦，并且AD＝BD 求证：CD平分AB，CD ⊥AB，AC＝BC
⌒ ⌒
D
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平 分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
两条弦在圆心的两侧
小练习
⌒ 已知：AB． ⌒ 求作：AB的中点．
C
E
A
作法：
B
1． 连结AB． 2． 作AB的垂直 ⌒ 平分线 CD，交 AB于点E．
⌒ 点E就是所求AB的中点．
D
⌒ 已知：AB． ⌒ 求作：AB的四等分点．
作法： 1． 连结AB． 2． 作AB的垂直 ⌒ 平分线 ，交AB 于点E． 3． 连结AC． 4． 作AC的垂直 ⌒ 平分线 ，交AC 于点F． 5． 点G同理．
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧
（5）平分弦并且平分弦所对的一条弧的直径过 圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧 ．
④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ③ 平分弦
（6）平分弦所对的两条弧的直径过圆心， 并且垂直平分弦．
垂径定理的推论2
圆的两条平行弦所夹的弧相等． NhomakorabeaC D
A
E B
⌒ 点D、C、E就是AB的四等分点．
作AC的垂直平分线
作BC的垂直平分线 A
×
C
B
等分弧时一 定要作弧所夹弦 的垂直平分线．
⌒ 你能确定AB的圆心吗？
C 作法： 1． 连结AB． 2． 作AB的垂直 A ⌒ 平分线 ，交AB 于点C． 3． 作AC、BC的 垂直平分线． 4． 三条垂直平分 线交于一点O．
知识要点
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分 弦所对的两条弧．
C
A
E
O B
D
垂径定理
C
B D AE＝BE 这五条进行 CD是直径，AB是弦， 将题设与结论调换 ⌒ ＝BC ⌒ AC 排列组合，会出 CD⊥AB 过来，还成立吗？ ⌒ ＝BD ⌒ 现多少个命题？ AD A ①直径过圆心 ②垂直于弦
E
垂径定理的推论1
② 垂直于弦 ③ 平分弦 C ① 直径过圆心 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
已知：AB是弦，CD平分AB，CD ⊥AB，
A
E
O B
求证：CD是直径，AD＝BD，AC＝BC
⌒
⌒
⌒
⌒
D
（3）弦的垂直平分线 经过圆心，并且平分 弦所对的两条弧．
② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧
4． 已知在⊙O中，弦AB 的长为16cm，圆心O到AB的距 离为6cm，求⊙O的半径．
A
E
． O
B
解：连结OA．过O作OE⊥AB，垂足为E， 则OE＝3cm，AE＝BE． ∵AB＝16cm ∴AE＝8cm 在Rt△AOE中，根据勾股定理有OA＝10cm ∴⊙O的半径为10cm．
4、如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E， CE=1，AB=10，求直径CD的长。
注意 为什么强调这里的弦不是直径？
M A
一个圆的任意两 条直径总是互相平分， C 但它们不一定互相垂 直．因此这里的弦如 果是直径，结论不一 定成立．
O B N
D
垂径定理的推论1
① 直径过圆心 ④ 平分弦所对优弧 C ③ 平分弦 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
⌒ ⌒
A
E
O B
已知：CD是直径，AB是弦，并且AC＝BC 求证：CD平分AB，CD ⊥AB，AD＝BD
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
（4）垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的 直径过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．
③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
B
在 a ， d ， r， h中，已知其中任 意两个量，可以 求出其它两个量 ．
E A
h a
D
课堂小结
1． 圆是轴对称图形
任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．
O
2． 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分 弦所对的两条弧．
C
A
E
O B D
3．垂径定理的推论
条件
①③ ①④ ①⑤ ②③ ②④ ②⑤ ③④ ③⑤
解：连接OA，
∵ CD是直径，OE⊥AB ∴ AE=1/2 AB=5 C A E · O D
B 设OA=x，则OE=x-1，由勾股定理得 x2=52+(x-1)2 解得：x=13
∴ OA=13
∴ CD=2OA=26
即直径CD的长为26.
9． 在以O为圆心的两个 同心圆中，大圆的弦AB交小圆 于C，D两点． 求证：AC＝BD．
B
⌒ 点O就是AB的圆心．
O
你 能 破 镜 重
m
n
A
C
圆
吗？
B O
作法： 作弦AB、AC及它们的垂直平分线m、n， 交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆． 依据： 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦 所对的两条弧．
垂径定理三角形
C
有哪些等量关系？
O
r d
d+h=r a 2 2 2 r d ( ) 2
④⑤
①②③
4． 解决有关弦的问题
经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦 的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理 创造条件．
随堂练习
1． 判断： （1）垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对 的两弧． （ ） （2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所 对的另一弧． （ √ ） （3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦． （ ） （4）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行． （ ） （5）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧． （ ）
O
C E
．
D B
A
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE．
AE－CE＝BE－DE．
所以，AC＝BD
√
2． 在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到 AB的距离为3cm，求⊙O的半径． 解： OE AB 1 1 AE AB 8 4 2 2 A E B
在Rt AOE中
· O
AO OE AE
2 2
2
AO OE 2 AE 2 = 32 +42 =5cm 答：⊙O的半径为5cm．