摘要：裴蜀定理是初等数论中一个非常重要的定理，即当n 个整数12,,...,n a a a 满足12(,,...,)1n a a a =时，存在无穷多组整数12(,,...,)n x x x 可以使得1122...1n n x a x a x a +++=。

这里的12(,,...,)n x x x 并没有特别的限制，是否可以给12(,,...,)n x x x 一些限制条件而使裴蜀定理依然成立呢？我们的研究结果表明当n 个整数12,,...,n a a a 满足12(,,...,)1n a a a =时，存在无穷多组整数12(,,...,)n x x x 可以使得1122...1n n x a x a x a +++=和1i i x x +(i=1,3,…,n -2)同时成立。

进一步我们发现，当n+k 个整数11,...,,,...,n n a a b b 满足11(,...,,,...,)1n k a a b b =时，存在无穷多组整数|11(,...,,,...,)n k x x y y 可以使得1111......1n n k k x a x a y b y b +++++=和1i i x x +(i=1,…,n-1)和1j j y y +（j=1,…,k-1）同时满足。

此外，我们的研究结果表明当n 个整数12,,...,n a a a 满足12(,,...,)1n a a a =时，存在无穷多组整数12(,,...,)n x x x 可以使得1122...1n n x a x a x a +++=和(,)2i j x x ≥同时满足，这里1i j n ≤<≤。

总之，在该论文中，我们通过简洁而巧妙的证明，发现了一系列加强的裴蜀定理，使得裴蜀定理更加丰富而有趣。

裴蜀定理是初等数论中一个非常重要的基本定理，在各级各类数学竞赛中出现了很多以其为背景的试题，因此，深入理解这个定理是十分必要的。

我们首先来看看该定理的内容，设12,,...,n a a a 为n 个整数，d 是它们的最大公约数，那么存在无穷多组整数12(,,...,)n x x x 使得 1122...n n x a x a x a d +++=。

特别来说，如果12,,...,n a a a （不是两两互质）互质即12(,,...,)1n a a a =，那么存在无穷多组整数12(,,...,)n x x x 使得1122...1n n x a x a x a +++= 。

该定理的证明方法很多，证明也不困难，我们的想法是能不能对上述12,,...,n x x x 做一些限制，使该定理仍然成立。

我们先从简单的n=2开始，若12(,)1a a =,则存在无穷多组整数12(,)x x 使得11221x a x a +=，我们想这里的（x 1，x 2）能否具有整除的关系，即12x x ，若该条件成立，必然得到11x ，即x 1=1或者-1，即x 2a 2=1±a 1，显然该方程未必有整数解，例如a 1=5，a 2=7。

那么我们在来看看当n=3的情形，若123(,,)1a a a =,则存在无穷多组整数123(,,)x x x 使得1122331x a x a x a ++=，我们想这里的123(,,)x x x 能否具有整除的关系？假设12x x ，23x x ，若该条件成立，必然得到11x ，即11x =或者1-，即223311x a x a a +=±，显然该方程也未必有整数解，例如1237,7,11a a a ===。

所以该结论也不成立。

那么当n=3时，是否存在无穷多组整数123(,,)x x x ，其中两个数具有整除关系，例如12x x ，使得1122331x a x a x a ++=成立。

幸运的是，上述定理是成立的。

我们先来证明一个引理1：123(,,)1a a a =，存在无穷多个整数k ，使得123(,)1ka a a +=证明1：若13(,)1a a =，易证存在无穷多个正整数k ，使得1231(mod )ka a a +≡，结论成立若13(,)1a a d =≥,利用唯一分解定理将1a 表示成如下111...l l a p p q αα= （i α≥1,且i p 为质数）131...l l a p p r ββ= （i β≥1,且i p 为质数）11min(,)min(,)131(,)....l l l a a d p p αβαβ==且易知1(,)1r a =，2(,)1i p a =易证对任何整数k ，都有12(,)1i ka a p +=，则1121(, (1)l ka a p p αα+= 且存在无穷多个整数k 使得121(mod )ka a r +≡，则12(,)1ka a r += 则123(,)1ka a a +=成立证明2：将3a 唯一分解定理表示1113111.........k l mk l m a p p q q r r αβγαβγ= （这里111,...,,...,...k l m p p q q r r 均为质数，且,,1i i i αβγ≥）1）假设1i p a ，且2(,)1i p a =,则无论k 为何值，12(,)1i ka a p +=2）假设1(,)1i q a =，且2i q a 只需1(mod )i k q ≡，可得12(,)1i ka a q +=3）假设1(,)1i r a =，2(,)1i r a =，只需121(mod )i ka a r +≡即121(mod )i ka a r ≡-，由1(,)1i r a =可知一定存在i b 使得11(mod )i i a b r ≡， 即要求2(1)(mod )i i k b a r ≡-，由11,...,,...,l m q q r r 两两互质，根据中国剩余定理，下列同余方程组一定有无穷多组整数解112121(mod )...1(mod )(1)(mod )...(1)(mod )l m m k q k q k b a r k b a r ≡⎧⎪⎪⎪≡⎪⎨≡-⎪⎪⎪≡-⎪⎩ 则123(,)1ka a a +=成立利用上述引理我们证明下面的定理1定理1：若123(,,)1a a a =,则存在无穷多组整数123(,,)x x x ，满足1）1122331x a x a x a ++=2）12x x证明：由上述引理可知存在无穷多个整数k 使得213(,)1ka a a +=， 由裴蜀定理可得存在无穷多组整数(,)s t 使得213()1s ka a ta ++=令123,,x s x sk x t ===，易知12x x ，上述定理1成立。

进一步，我们猜想上述结论对所有n （n≥3）都成立吗？，也就是下面的一个猜想：若12(,,...,)1n a a a =,存在无穷多组整数12(,,...,)n x x x ，满足1）1122...1n n x a x a x a +++=2）1i i x x +(i=1,2,…,n -2)为了证明此猜想，我们先证下面引理2引理2：12(,,...,)1n a a a =，存在无穷多组整数122(,,...,)n m m m -，使得112123121(......,)1n n n a m a m m a m m a a --++++= 证明：由引理1可知当n=3假设n=k 成立，下证n=k+1时成立121(,,...,,)1k k a a a a +=，设11111......l hk l h a p p q q αβαβ+= 假设11(,...)1l a p p =，令110(mod ...)l m p p ≡，则112123111(......,...)1k k l a m a m m a m m a p p -++++= 若1...i h q q a ，易知231(,,...,,...)1k h a a a q q =，由归纳假设可知存在无穷多组整数21(,...,)k m m -,满足223211(......,...)1k k h a m a m m a q q -+++=，再令111(mod ...)h m q q ≡，则可得112123111(......,...)1k k h a m a m m a m m a q q -++++=，即存在无穷多组整数121(,,...,)k m m m -，使得112123111(......,)1k k k a m a m m a m m a a -+++++=，易知11(...,...)1l h p p q q =，由中国剩余定理知满足上述条件的整数m 1存在无穷多个。

即n=k+1成立，由数学归纳法知当3n ≥时，12(,,...,)1n a a a =，存在无穷多组整数122(,,...,)n m m m -，使得112123121(......,)1n n n a m a m m a m m a a --++++=由上述引理2，易证我们前面猜想的定理2成立，即定理2：若12(,,...,)1n a a a =,存在无穷多组整数12(,,...,)n x x x ，满足1）1122...1n n x a x a x a +++=2）1i i x x +(i=1,2,…,n -2)证明：由引理2，可知存在无穷多组整数（x ，y ）使得112123121(......)1n n n x a m a m m a m m a ya --+++++=成立令1213121122,,,...,...,n n n x x x xm x xm m x xm m m x y --=====易知定理2成立在这里我们来看一个具体的例子，设n=4，（2,3,5,14）=1，易知132393785(38)141⨯+⨯+⨯+-⨯=，所以（13,39,78,-39）是满足定理2的一组解。

进一步，我们提出下面的一个猜想：2n ≥，2k ≥，若11(,...,,,...,)1n k a a b b =,存在无穷多组整数11(,...,,,...,)n k x x y y ， 满足1）1111......1n n k k x a x a y b y b +++++=2）1i i x x +(i=1,…,n-1)和1j j y y +（j=1,…,k-1）为了证明此猜想，我们先证下面引理3引理3：11(,...,,,...,)1n k a a b b =，存在无穷多组整数1111(,...,,,...,)n k m m t t --，使得1121231111212311(......,......)1n n k k a m a m m a m m a b t b t t b t t b --++++++++= 证明：设12(,,...,)n a a a d =，所以1(,,...,)1k d b b =由引理2可得11212311(,......)1k k d b t b t t b t t b -++++=所以1211212311(,,...,,......)1n k k a a a b t b t t b t t b -++++=再由引理2可得1121231111212311(......,......)1n n k k a m a m m a m m a b t b t t b t t b --++++++++= 由上述引理3，易证我们前面猜想的定理3成立，即定理3：2n ≥，2k ≥，若11(,...,,,...,)1n k a a b b =,存在无穷多组整数11(,...,,,...,)n k x x y y ，满足1）1111......1n n k k x a x a y b y b +++++=2）1i i x x +(i=1,…,n-1)和1j j y y +（j=1,…,k-1）证明：由引理3，可知存在无穷多组整数(,)m t 使得1121231111212311(......)(......)1n n k k m a m a m m a m m a t b t b t t b t t b --+++++++++=成立，令121121121121,,...,...,,,...,...n n k k x m x mm x mm m m y t y tt y tt t t --====== 易知定理3成立下面我们证明有意思的定理4定理4：3n ≥，若1(,...,)1n a a =,存在无穷多组整数1(,...,)n x x ， 满足1）11...1n n x a x a ++=2）(,)2i j x x ≥，1i j n ≤<≤证明：令,1,1,,...k t t t t t t k t a p p αα= 1t n ≤≤ 令12...n B q q q =，i i B B q =，（1,...,n q q 为不同于1,,,...,t t k t p p 的质数，1t n ≤≤）令i i i c B a =，1i n ≤≤所以12(,,...,)1n c c c =，由裴蜀定理可知存在1(,...,)n y y 使11...1n n y c y c ++=所以111...1n n n y B a y B a ++=令i i i x y B = 所以(,)2i j i jB x x q q ≥≥ 我们还可以将定理2进一步加强为定理5定理5：若12(,,...,)1n a a a =,存在无穷多组整数12(,,...,)n x x x ， 满足1）1122...1n n x a x a x a +++=2）1i i x x +(i=1,2,…,n -2)3） (,)2i n x x ≥ (i=2,…,n -1)证明：设,1,1,,...k t t t t t t k t a p p αα= 1t n ≤≤ 令111212,,n n i i b q a b q a b q q a ===，21i n ≤≤-（12,q q 为不同于1,,,...,t t k t p p 的质数，1t n ≤≤）所以1(,...,)1n b b =由定理2可得存在无穷多组整数12(,,...,)n y y y ，满足1）1122...1n n y b y b y b +++=，2）1i i y y +(i=1,2,…,n -2)由1）可得111212211212...1n n n n y q a y q q a y q q a y q a --++++=令111212,,n n i i x y q x y q x y q q ===，21i n ≤≤-所以存在无穷多组整数12(,,...,)n x x x ，满足1）1122...1n n x a x a x a +++=2）1i i x x +(i=1,2,…,n -2)3） (,)2i n x x ≥ (i=2,…,n -1)经过不断的探索和证明，我们得到了一系列很有趣的定理1-5和非常重要的引理1-3，最终我们证明了一系列比裴蜀定理更强的定理，就我们所知尚未看见类似的结论，由此可以看到对于一些古老而经典的定理，如果继续探索研究，往往可以得到一些有意思的新结果，我们相信关于裴蜀定理一定还有很多值得探索的地方，希望本文能够起到抛砖引玉的作用。