已有的知识： （1）结构组成分析； （2）静定结构的内力分析和位移计算；
（3）超静定结构的内力分析和位移计算 力法；已解得如下单跨梁结果。
回顾力法的思路：
（1）解除多余约束代以基本未知力，确定基本 结构、基本体系； （2）分析基本结构在未知力和“荷载”共同作 用下的变形，消除与原结构的差别，建立 力法典型方程；
等截面直杆的转角位移方程，或典型单元刚度 方程。
4 EI 2 EI 6 EI M AB A B 2 L L L 2 EI 4 EI 6 EI M BA A B 2 L L L
QAB QBA
6 EI 6 EI 12 EI 2 A 2 B 3 L L L
三、两端固定梁的转角位移方程
θ
A
P
q
MAB
A θ QAB
A
βAB
EI θ βAB
B
B ΔAB B' MBA QBA
l
பைடு நூலகம்
EI EI EI f M 4 2 6 Δ M A B AB AB l l l2 M 2 EI 4 EI 6 EI Δ M f A B BA BA l l l2 Q 6EI 6EI 12EI Δ Q f A B AB AB l2 l2 l3 6EI 6EI 12EI Q AB 2 A 2 B 3 Δ Q fBA l l l
A
(a)
(b)
位移法也是计算超静定结构的基本方法之一.
力法计算,9个基本未知量 位移法计算, 1个基本未知量
P
结构在一定的外因作用下，内力和位移间恒有一定 的关系。因此，也可把结构的某些位移作为基本未 知量，求出这些位移，再据以确定结构的内力
三、解题思路
q (a)
A
l A
ø B
B
ø B
C Z1= ø B R=0 q B ø B C
C
1、基本体系 2、平衡条件 R11+R1P=0
ø B
因为：R11=r11Z1 (见下图）
C
所以： r11Z1 +R1P=0
Z1=－ R1P／ r11
Z1= ø B (c) A ø B R11 ø B B R1P q (d) A C A C
Z1= １ ø B
r11
B
ø B
C
B
四、解题步骤
（1）选取位移法法基本体系； （2）列位移法基本方程；
2 1P
r 10i
计算附加链杆中 产生的反力时。 取横梁ABC部 分为隔离体用投 影方程，可求得 相应的系数和自 由项
r22 12i / l 2
R2 P 0
r21 6i / l
将求得的系数和自由项代入典型方程，可得：
6i ql2 1 0iZ 1 Z2 0 l 8 6i Z 1 2i Z 0 1 2 l l2
令：i
EI 称为“线刚度”、 AB 称 为 “ 旋 转 角 ” ， 则 ： l l
θ
A
P
q
MAB
A θ QAB
A
βAB
EI θ βAB
B
B ΔAB B' MBA QBA
l
i f M 4 i 2 i 6 Δ M A B AB AB l M 2i 4i 6 i Δ M f A B BA BA l Q 6i 6i 12i Δ Q f A B AB AB l l l2 6i 6i 12i Q AB A B 2 Δ Q fBA l l l
×
×
表9－1 等截面单跨超静定梁的杆端弯矩和剪力
28
29
30
31
32
9.3
一、基本未知量
1、结点角位移
基本未知量数目的确定
B
B
C C
B
D
C
2、结点线位移
A
二、基本假设
1、小变形假设。 2、不考虑轴力和弯曲内力、弯曲变形之间相互影响。 （采用上述假设后，图示刚架有3个基本未知量。）
（3）绘单位弯矩图、荷载弯矩图； （4）求位移方程各系数，解位移法方程 （5）依M=M1Z1+M2Z2+…….+MP绘弯矩图，进而绘剪 力图、轴力图。
五、解题示例
A ø B
q ø B l C A 2EI/l
Z1 = 1 4EI/l B 3EI/l 2 M1图 ql/8 B Mp图 C
B
l
Z1 A
原结构
4、确定线位移的方法
35
5、确定角位移的方法
36
如何确定基本未知量举例：
1角 2线
2角 1线
1角 2线
1角 1线
1角 1线
9.4 位移法典型方程及算例
图（a）中刚架在刚结 点B有一个独立角位移， 编号为Z1；另外结点A、 B、C有一个独立水平 线位移，编号为Z2， 基本未知量和基本结 构见图（b）。
二、杆端力的表示方法和正负号的规定
1、弯矩：MAB表示AB杆A端的弯矩。对杆端而 言，顺时针为正，逆时针为负；对结点而言，顺时 针为负，逆时针为正。
P A MAB0 B MBA0
2、剪力：QAB表示AB杆A端的剪力。正负号规定同 “材力”。 P B A QAB0 QBA0
3、固端弯矩、固端剪力：单跨超静定梁仅由于荷载作 用所产生的杆端弯矩称为固端弯矩，相应的剪力称为固端 剪力。用MfAB、 MfBA、QfAB、QfBA 表示。
q
B ø B
ql/8 C
2
ø B
C
A
基本体系
4 EI 3 EI 7 EI r11 l l l
ql/14
A ql/28
2 2 2
r11 Z1 R1 p 0
R1 P
ql/8 C A
ql 2 8
ql 2 3 R1 p ql Z1 8 7 EI r11 56EI l 4ql/7
（3）求解未知力，将超静定结构化为静定结构。
核心是化未知为已知
5
一般情况下结构上一个自由刚结点在平面上有三个 位移分量（互相垂直的两个线位移和一个转角位移）， 见图 (a)对受弯直杆应用轴向刚度条件，刚架的位移 未知量变化见图 (b)
z1 z2 C C` z3
A
Fp B z3
C z1 z1
Fp B
推导： 已知简支梁两端作用有集中外力偶MAB、MBA，同时 B支座有支座位移，用单位荷载法求位移A、B，然 后将杆端力QAB、MAB、QBA、 MBA表示成位移的函 数形式。推导是对静定梁在荷载和支座移动下，求梁 两端转角位移的过程。
M A B A
A
M B A B B `
(a)
M A B A A 1
B 3ql/28 Q图
C
B
M图
3ql/7
六、小结
12
9.2
等截面直杆的物理方程（转角位移方程）
一、为什么要研究等截面直杆的转角位移方程
1、位移法是以等截面直杆（单跨超静定梁）作为其计 算基础的。
2、等截面直杆的杆端力与荷载、杆端位移之间恒具有 一定的关系——“转角位移方程 ” 。 3、渐近法中也要用到转角位移方程。
4）当考虑典型单元上同时也作用荷载时的单元 刚度方程

F M Mf B A AB
F f M M BA A B
B
EI EI EI f M 4 2 6 Δ M A B AB AB l l l2 M 2 EI 4 EI 6 EI Δ M f A B BA BA l l l2 Q 6EI 6EI 12EI Δ Q f A B AB AB l2 l2 l3 6EI 6EI 12EI Q AB 2 A 2 B 3 Δ Q fBA l l l
B
(b)
A B B `
(c)
1）求A1,A1见上图(b)
M A B A
B
M B A
M A B
(d)
M = 1 A
(e)
1
1 M = 1 B
(f)
A
M A B A
(g)
F Q A B
M B A B
F Q B A
2）求A2,A2见图(c) 3）叠加得到
L L A M AB M BA 3EI 6 EI L L L B M AB M BA 6 EI 3EI L
4 EI 2 EI 6 EI M AB A B 2 L L L 2 EI 4 EI 6 EI M BA A B 2 L L L
由平衡条件得杆端剪力：见图(g)
M AB M BA Q AB QBA L 6 EI 6 EI 12EI 2 A 2 B 3 L L L
三、如何确定基本未知量
1、在刚结点处加上刚臂
2、在结点会发生线位移的方向上加上链杆。 3、附加刚臂与附加链杆数目的总和即为基本未知量数目。 （见上例） 4、确定线位移的方法
（1）由两个已知不动点所引出的不共线的两杆交点也 是不动点。 （2）把刚架所有的刚结点（包括固定支座）都改为铰 结点，如此体系是一个几何可变体系，则使它变为几何不 变体系所需添加的链杆数目即等于原结构的独立线位移数 目。
r11 Z 1 r12 Z 2 R1P 0 r21 Z 1 r22 Z 2 R2 P 0
上式既为二个未知量的位移法典型方程
计算系数和自由项
可根据单位弯矩图、 以及荷载弯矩图,取隔离体, 由平衡条件求得系数和自由项
11 计算附加刚臂中 由Z1=1，Z2=1及 荷载单独作用下 r12 6i / l 产生的反力矩时。 取结点B为隔离体， 运用力矩平衡方 R 8ql / 8 程可求得有关刚 臂中的反力矩系 数和自由项