数学试题（理）
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。
时量120分钟，满分
150分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设复数1()
z=，则复数z的虚部
=+∈且||1
z bi b R
为（）
A．-1 B．0 C．1 D．1±
2．设全集U是实数集
2
或都
=>=≥<
R M x x N x x x
,{|4},{|31}
是U的子集，则下列选项中是图中阴影部分所表示的集俣的元素的是（）
A．-3 B．0
C．2 D．4
3．在下图所示的程序框图中，若输入的x=100，则在循环体中运算
．．
的次数
．．．为（）
A ．1
B ．48
C ．49
D ．50 4．已知1sin()4
3
π
α+=，则sin cos αα的值为
（ ） A ．718
-
B ．79
-
C ．
718
D ．79
5．已知等比数列{}n a 的前10项的积为32，则以下命题为真命题的是
（ ）
A ．数列{}n a 的各项均为正数
B ．数列
{}n a 中必有小于2的项
C ．数列{}n a 的公比必是正数
D ．数列
{}n a 中的首项和公比中必有一个大于1
6．F 1、F 2分别是双曲线22
1169
x y -=的右右焦点，P 是双曲线上任意一
点，则|PF 1|+|PF 2|的值不可以是
（ ） A ．
B ．25
C ．10
D ．4
7．如图，四棱锥P —ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ，
PD=AD=1，设点CG 到平面PAB 的距离为1d ，点B 到平面PAC 的距离为2d ，则有 （ ）
A ．121d d <<
B ．121d d <<
C ．121d d <<
D ．211d d <<
8．已知函数()f x 满足(1)(1)2f x f x ++-=，且直线(1)1y k x =-+与()f x 的
图象有5个交点，则这些交点的纵坐标之和为
（ ）
A ．10
B ．5
C ．4
D ．3 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分。
把答案填在
答题卡中对应题号后的横线上。
9．设00,29a
a xdx >>⎰若，则a 的取值范围是 。
10．某时段内共有100辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方
图如下图所示，则时速超过60km/h 的汽车数量为 辆。
11．某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，后四
位数从“0000”到“9999”共10000个号码，公司规定：凡卡号的后四化闰数字按从小到大依次排列，则称为“翔（祥）龙卡”，
享受某种优惠政策，则这组号码中“翔（祥）龙卡”的个数为 个。
12．对于大于1的自然数m 的三次可幂可用奇数进行以下方式的“分
裂”：313235,37911,413151719,=+=++=+++…，仿此，若m 3的“分
裂数”中有一个是31，则m 的值为 。
13．给出下列三个命题： ①函数(01)x y a a a =>≠且与函数log (01)x y a a a =>≠且的定义域相同； ②函数33x y x y ==与的值域相同； ③函数1
12
21
x
y =+
-与2
lg(1)y x x =++都是奇函数。
其中正确命题的序号是 （把你认为正确的命题序号都填上）。
14．已知平面向量,,OA OB OC 满足：||||||1,0OA OB OC OA OB ===⋅=，若
OC xOA yOB =+
(,)x y R ∈，则x y +的最大值是 。
15．数列{}n a 中，11,2a n =≥当时，n a 是(3)n x -的二项展开式中x 的系
数，设3,n
n n n
b T a =为数列{}n b 的前n 项和，则n a = ，99
T = 。
三、解答题：本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明，证
明过程或演算步骤。
（一）选做题：本题共三道小题，每小题6分，考生任选两题作答，满分12分，若全做按前两 小题记分。
16．（本小题满分12分）
（1）几何证明选讲：如图，CB 是⊙O 的直径，AP 是⊙O 的切线，为切点，
AP 与CB 的延长线交于点P ，若PA=8，PB=4，求AC 的长度。
（2）坐标系与参数方程：在极坐标系Ox 中，已知曲线
1:cos()4
C π
ρθ+2=与曲线C 2；1ρ=相交于A 、B 两点，求线段AB 的长度。
（3）不等式选讲：解关于x 的不等式|1|20().x a a R -+-≤∈
（二）必做题：（17~21题）
17．（本小题满分12分）
学校艺术节举行学生书法、绘画、摄影作品大赛，某同学有A （书法）、B （绘画）、C （摄影）三件作品准备参赛，经评估，A 作品
获奖的概率为45
，B 作品获奖的概率为12
，C 作品获奖的概率为1.3
（1）求该同学至少有两件作品获奖的概率；
（2）记该同学获奖作品的件数为,ξξ求的分布列和数学期望。
18．（本小题满分12分）
如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为4，点P 从B 点出发，在正方形BCC 1B 1的边上按逆针方向按如下规律运动：设第n 次运动的路程为n a ，且cos
22
n n a π
=+，第n 次运动后P 点所在位置为n P ，回到B 点后不再运动。
（1）求二面角i P AC B --的余弦值；
（2）是否存在正整数i 、j ，使得直线i j PP 与平面ACD 1平行？若存在，找出所有符合条件的i j PP ，并给出证明；若不存在，请说
明理由。
19．（本小题满分13分）
如图，春节，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30︒，已知S的身高约为3米（将眼睛距地面的距离按3米处理）
（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；
（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆
MN绕中点O在S与立柱所在的平
面内旋转。
摄影者有一视角范围为
60︒的镜头，在彩杆转动的任意时刻，
摄影者是否都可以将彩杆全部摄入
画面？说明理由。
20．（本小题满分13分）
如图，抛物线21:4C y x =的焦准距（焦点到准线的距离）与椭圆
22
222:1(0)x y C a b a b
+=>>的长半轴相等，设椭圆的右顶点为A ，C 1、C 2在第一象限的交点为B ，O 为坐标标原点，且OAB ∆的面积为
26. （1）求椭圆C 2的标准方程；
（2）过A 点作直线l 交C 1于C 、D 两点，射线OC 、OD 分 别交C 2于E 、F 两点。
（I ）求证：O 点在以EF 为直径的圆的内部；
（II ）记,OEF OCD ∆∆的面积分别为S 1，S 2，问是否存在直线l ， 使得213S S =？请说明理由。
21．（本小题满分13分） 已知函数2()x f x e ax =+，其中a 为实常数。
（1）若()f x 在区间（1，2）上单调递减，求实数a 的取值范围； （2）当a=-2时，求证：()f x 有3个零点；
（3）设()y g x =为()f x 在0x 处的切线，若“00,(()())()0x x f x g x x x ∀≠-->”，则称0x 为()f x 的一个优美点，是否存在实数a ，使得02x =是()f x 的一个优美点？说明理由。
（参考数据： 2.718e ≈）。