广州市高三数学训练题 （十一） 综合训练（1）（时间：120分钟满分150分）（由广州市中学数学教研会高三中心组编写，本卷命题人:杨仁宽，修订：杨斗） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项题号 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 得分 答案（1）计算：=--+ii i 21)1)(2(2（ ）（A ）2（B ）2- （C ）2i（D ）2i -（2）已知{}{}7,4,3,2-==→→b a ，则→a 在→b 上的射影为 （A ）13； （B ）513； （C ） 565； （D ） 65（3）已知a 、b 为直线，α、β为平面．在下列四个命题中，① 若a ①α，b ①α，则a ①b ； ① 若 a ①α，b ①α，则a ①b ； ① 若a ①α，a ①β，则α①β； ① 若α①b ，β①b ，则α①β． 正确命题的个数是(A) 1 (B) 3 (C) 2 (D) 0（4）函数f (x )＝A ·tan(ωx +φ)(φ＞0)在区间[m ，n]上的函数值都小于0，则函数g (x )＝A ·cot(ωx +φ)在[m ，n]上的函数值(A) 都大于0，且有最大值为g (m ) (B) 都小于0，且有最大值为g (m ) (C) 都大于0，且有最小值为g (m ) (D) 都小于0，且有最小值为g (m ) （5）已知函数()()01f x x ≤≤的图象的一段圆弧（如图所示）若1201x x <<<，则 （A ）1212()()f x f x x x < （B ）1212()()f x f x x x = （C ）1212()()f x f x x x > （D ）前三个判断都不正确 （6）对于四条曲线：① 0124=-+y x ；① 322=+y x ；① 2222=+y x ； ① 2222=-y x ． 其中与直线2 x + y +3＝0有交点的所有曲线是(A) ①，①，① (B) ①，① (C) ①，① (D) ①，①，①（7）将4名司机和8名售票员分配到四辆公共汽车上，每辆车上分别有1名司机和2名售票员，xyO 1则可能的分配方案种数是(A)4444242628A A C C C (B)44242628A A A A (C)44242628A C C C (D)242628C C C（8）定义在R 上的偶函数f (x )在[)∞+,0上递增，0)31(=f ，则满足)(log 81x f ＞0的x 的取值范围是(A)()∞+,0 (B)()∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛,221,0 (C) ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2,2181,0 (D) ⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 （9）现有一个长方体水箱，从水箱里面量得它的深是30cm ，底面的长是25cm ，宽是20cm ．设0＜ a ≤8，水箱里盛有深为a cm 的水，若往水箱里放入棱长为10cm 的立方体铁块，则水深为 (A) 2 cm (B) 10 cm (C) (a +2) cm (D)cm a 45（10）我国首航员杨利伟乘坐的“神舟五号”载人宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F 为一个焦点的椭圆，近地点A 距地面为m 公里，远地点B 距地面为n 公里．若地球的半径为R 公里，则飞船运行轨道的短轴长为(A) mn (B) 2))((R n R m ++ (C) 2nm (D)))((R n R m ++（11）已知函数f (x )的图象过点(0，－5)，它的导数f /(x )＝4x 3－4x ，则当f (x )取得最大值－5时，x 的值应为(A) －1 (B) 0 (C) 1 (D) ±1 （12）在平面直角坐标系中，有两个区域M 、N ，M 是由三个不等式y ≥0、y ≤x 和y ≤2－x 确定的；N 是随t 变化的区域，它由不等式t ≤x ≤t +1（0≤t ≤1）所确定．设M 、N 的公共部分的面积为f (t )，则f (t )等于(A)t t 222+- (B)2)2(21-t (C)2211t - (D) 212++-t t 二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案填在题中横线上．(13)已知点P 在抛物线122+=x y 上运动，定点A(0，－1)，若点M 分PA 所成的比为2，则动点M 的轨迹方程是 ．(14) 一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测的刹车后t 秒内列车前进的距离为2270.45S t t =-米，则列车刹车后 秒车停下来，期间列车前进了 米． (15)在测量学中，把斜坡的坡面与水平面所成二面角的大小叫做坡角．若要将坡长为100 m 、 100 m坡角为450的坡面，改造成坡角为300的坡面， 450 300 则坡底要伸长 m ． (16) 设有两个命题： ① 不等式x 2004 + 4 ＞m ＞ 2x －x 2对一切实数x 恒成立；① 函数f (x )＝－x m )27(-是R 上的减函数．使这两个命题都是真命题的充要条件，用m 可表示为 ．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17) ( 本题满分12分 )已知函数f x x x x x ()cos sin cos sin =--442 （I ）求f x ()的最小正周期； （II ）若x ∈⎡⎣⎢⎤⎦⎥02，π，求f x ()的最大值，最小值．(18) ( 本题满分12分 )已知一台机器在一天内发生故障的概率为0．2，机器发生故障时全天停止工作．一周五天工作日里无故障可获利10万元，发生一次故障可获利5万元，发生两次故障没有利润，发生三次或三次以上故障就要亏损2万元．这台机器在一周内平均获利多少？(19) ( 本题满分12分 )已知，如图四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，PG ⊥平面ABCD ，垂足为G ，G 在AD 上，且AG =31GD ，BG ⊥GC ，GB =GC =2，E 是BC 的中点，四面体P —BCG 的体积为38． （Ⅰ）求异面直线GE 与PC 所成的角； （Ⅱ）求点D 到平面PBG 的距离；（Ⅲ）若F 点是棱PC 上一点，且DF ⊥GC ，求FCPF的值．(20) ( 本题满分12分 )已知等差数列{}n a 的前n 项之和为S n ，令n n S b 1=，且5244=b a ，S 6－S 3＝15． (①)求数列{}n b 的通项公式与它的前10项之和；(①)若11=c ，0211=-+n n c c ，n T ＝∑=nk k k c a 1，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→12n n n n a T lin 的值．(21) ( 本题满分12分 )已知点(,0)(0)F a a >，动点M 、P 分别在x 、y 轴上运动，满足0PM PF ⋅=，N 为动点，并且满足0PN PM +=．（Ⅰ）求点N 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点(,0)F a 的直线l （不与x 轴垂直）与曲线C 交于A B 、两点，设点 (,0)K a -，KA 与KB 的夹角为θ，求证：02πθ<<．(22) ( 本题满分14分 )函数bx a x f 211)(⋅+=的定义域为R ，且*)(0)(lim N n n f n ∈=-∞→ （Ⅰ）求证：0,0a b ><； （Ⅱ）若()41,()[0,1]5f f x =且在上的最小值为21，试求f (x )的解析式； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下记),)(()2()1(N n n f f f S n ∈+++= 试比较n S 与 *111()22n n n N +++∈的大小并证明你的结论．(十一)综合训练（1）参考答案提示：（1）()()222122(2)(1)(2)(1)2121212i i i i i i i i i i i--+--+-===--- （2）→a 在→b 上的射影cos ,65a b a a b b===，选（C ）（3）由“垂直于同一平面的两直线平行”知①真；由“平行于同一平面的两直线平行或异面或相交”知①假；由“垂直于同一直线的两平面平行”知①真；易知①假，选（C ） （4）因)(x g 仍负可排除（A ）（C ），由A ＞0时)(x f 递增可知)(x g 递减，从而选（B ）或取A＝ω＝1，φ＝4π，43π-=m ，4π-=n 而得（B ）（5）∵1212()(),f x f x x x 可视为曲线上两点11(,())x f x 、22(,())x f x 的斜率，作图易得1212()()f x f x x x >．选C ． （7）由032=++y x 与①平行可去（B ）（D ），将032=++y x 代入①得①＝0，从而选（A ）（8）将8名售票员平分为4组：有44242628A C C C ÷，再分配医生有44A ，由此得（C ）（9）由|)(|)()(x f x f x f =-=得|)log (|81x f ＞)31(f ，于是|log |81x ＞31解此得（B ） （10）铁块全部浸入水中时水面升高2cm ．因0＜a ≤8，铁块不能全部浸入水中，设铁块放入水中后水面升高x cm ，则500a ＝（500－100）x 中x ＝a 45选（D ）（11）因R n c a +=+，R m c a +=-，))(())((2R m R n c a c a b ++=-+=，由此选（B ）（12）易知52)(24--=x x x f ，0)(/=x f 时x ＝0或x＝±1，只有5)0(-=f 选（B ）（13）分别作出区域M 、N ，则公共部分的面积为=)(t f FDEOBC AOE S S S ∆∆∆--＝2)]1(2[2121121+----⨯t t OE ＝212++-t t ，选（D ） 二、填空题：(13) 180132=--y x ；(14) 30，405；(15) 50（26-）；(16) 1＜m ＜3．简要提示如下：(1) 设（x ，y ），P （0x ，0y ），则由定比分点分式得，0x ＝3x ，0y ＝3y +2，由点P 在已知抛物线上可得180132=--y x(2) ()270.9S t t '=-，由瞬时速度()()0v t S t '==得30t =（秒），期间列车前进了()23027300.4530405S =⨯-⨯=（米）． (3) 设坡底伸长x m ，在原图左侧的虚线三角形中，由030sin 10015sin =x ，由此解得 (4) 由命题①得4＞m ＞1＝min 2)2(x x -，由命题①得7－2m ＞1，即3＞m ，从而可得 三、解答题：(17) 解：44()cos 2sin cos sin f x x x x x =--()()2222cos sin cos sin sin 2cos 2sin 2x x x x x x x =+--=-2sin 24x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（I ） T f x ==∴22ππ，()的最小正周期为π （II ） 02≤≤x π322 sin 2144424x x ππππ⎛⎫∴-≤-≤∴-≤-≤ ⎪⎝⎭ 22sin 214x π⎛⎫∴-≤--≤ ⎪⎝⎭∴f x ()的最大值为1，最小值为-2y 2AB F 2O C D E（18）以ξ表示一周内机器发生故障的次数，则ξ~B （5，51）， ① P （ξ＝k ）＝550.20.8k k kC -⨯⨯ (k ＝0、1、…、5)，以η表示一周内获得的利润，则η＝g (ξ)， 而g (0)＝10，g (1)＝5，g (2)＝0，g (ξ≥3)＝－2 ① P （η＝10）＝ P （ξ＝0）＝0．85＝0．32828， P （η＝5）＝ P （ξ＝1）＝0．4096， P （η＝0）＝ P （ξ＝2）＝0．，P （η＝－2）＝ P （ξ≥3）＝1－P （ξ＝0）－P （ξ＝1）－P （ξ＝2）＝0．05732， ① Eη＝10×0．328+5×0．410－2×0．057＝5．6万元为所求 (19) 解法一： （I ）由已知38213131=⋅⋅⋅=⋅=∆-PG GC BG PG S V BCG BGC P∴PG=4如图所示，以G 点为原点建立空间直角坐标系 o —x yz ，则B （2，0，0），C （0，2，0），P （0，0，4） 故E （1，1，0）(1,1,0),(0,2,4)GE PC ==-10cos ,10||||220GE PC GE PC GE PC ⋅<>===⋅⋅ ∴异面直线GE 与PC 所成的角为arccos1010 （II ）平面PBG 的单位法向量)0,1,0(0±=n3333||||2,45 ,,04222GD BC CGD GD ⎛⎫==∠=∴=- ⎪⎝⎭∴点D 到平面PBG 的距离为032GD n ⋅= （III ）设F （0，y , z ）3333(0,,)(,,0)(,,)(0,2,0)2222,03333(,,0)(0,2,0)2()02222DF OF OD y z y z GC DF GC DF GC y y y =-=--=-=⊥∴⋅=∴-⋅=-=∴=则在平面PGC 内过F 点作FM ⊥GC ，M 为垂足，则21,23==MC GM 3==∴MCGMFC PF 解法二：（I ）由已知38213131=⋅⋅⋅=⋅=∆-PG GC BG PG S V BCG BGC P ∴PG=4在平面ABCD 内，过C 点作CH//EG 交AD 于H ，连结PH ，则∠PCH （或其补角）就是异面直线GE 与PC 所成的角.在△PCH 中，18,20,2===PH PC CH由余弦定理得，cos ∠PCH=1010 ∴异面直线GE 与PC 所成的角为arccos1010 （II ）∵PG ⊥平面ABCD ，PG ⊂平面PBG ∴平面PBG ⊥平面ABCD在平面ABCD 内，过D 作DK ⊥BG ，交BG 延长线于K ， 则DK ⊥平面PBG ∴DK 的长就是点D 到平面PBG 的距离223434322===∴=BC AD GD BC 在△DKG ，DK=DGsin45°=23 ∴点D 到平面PBG 的距离为23（III ）在平面ABCD 内，过D 作DM ⊥GC ，M 为垂足，连结MF ，又因为DF ⊥GC∴GC ⊥平面MFD ， ∴GC ⊥FM由平面PGC ⊥平面ABCD ，∴FM ⊥平面ABCD ∴FM//PG由GM ⊥MD 得：GM=GD ·cos45°=23 332123=⊥∴===FCPFGC DF MC GM FC PF 可得由 (20) (①)由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧=++=+5264315123111d a d a d a 解得a 1＝d ＝1 ，从而a n ＝n ，S n ＝)1(21+n n ，① )111(2)1(2+-=+=n n n n b n ① 12310b b b b ++++…＝2011(①) 由已知，{}n c 成等比数列，121-=n n c① T n ＝n n c a c a c a +++ 2211＝1+1222322-+++n n① 2 T n ＝222242322-+++++n n ，两式相减，得T n ＝112224----n n n，① ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→12lim n n n n a T ＝∞→n lim （2214--n ）＝4 (21) 解：（Ⅰ）设(,),(0,),0(,2)N x y P b PM PN M x b y +=∴--202M x b y y b ∴-=∴=在轴上①又ab x abx b y PMPF PM 21=-=-⋅-∴⊥∴=⋅ ②由①②可得，24y ax =（也可用作直线:l x a '=-，运用抛物线的定义得出）（Ⅱ）设:()AB l y k x a =- 2()4y k x a y ax=-⎧⎨=⎩由可得22222(24)0k x ak a x a k -++= 设1122(,),(,)A x y B x y 221212224,ak a x x x x a k+∴+==1122A (,),(,)K x a y KB x a y =+=+2004))(1())(1(])([])([))(())(())((22212221222121222121212212121πθ<<∴>=+-+++=++-++++=--+++=+++=⋅∴ka x x k a a x x k a x x a x x k a x x a x x a x a x k a x a x y y a x a x KB KA(22) 解（Ⅰ）∵f (x )定义域为R ，,0.0,2,021=≥∴∈-≠≠+∴-a a R x a a bx bx若而即1()1lim ()0,0,lim ()lim121(021)1(21)210,0,0.10(21)bxn n n b b b bf x f n a f n a b a b a-→∞→∞→∞----=-=∴>∴-==+⋅⎧<<⎪⎪=∴><><⎨+⎪⎪>⎩与矛盾即故（Ⅱ）由（Ⅰ）知f (x )在[0，1]上为增函数，==∴=+=∴)1(,1,2111,21)0(f a a f 即 ·2141141,2,2,()1.1254121414x bb x x xb f x a -=∴=∴=-∴===-+⋅+++（Ⅲ）111*,,:22n n k N S n +∈<++当时证明如下 111()11,(1)(2)(3)()141111,*,2222kn n n f k f f f f n n n n k N S n ++=-<∴++++<-++>∴∈<++而时。