2016-2017学年北京市昌平区临川学校高二（下）3月月考数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共12小题，共60分，每题四个选项中只有一个选项是正确的，把选项填入答题卡的表格里）1．（5分）下列导数公式错误的是（）A．（sinx）'=﹣cosx B．C．D．（e x）'=e x2．（5分）下列函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=sin2x B．y=xe x C．y=x3﹣x D．y=ln（1+x）﹣x3．（5分）如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）=（）A．B．1 C．2 D．04．（5分）设函数f（x）=ax3+bx2+cx+2的导函数为f′（x），如果f′（x）为偶函数，则一定有（）A．a≠0，c=0 B．a=0，c≠0 C．b=0 D．b=0，c=05．（5分）函数的图象在点（2，f（2））处的切线方程是（）A．x﹣4y=0 B．x﹣4y﹣2=0 C．x﹣2y﹣1=0 D．x+4y﹣4=06．（5分）的值为（）A．e+1 B．e﹣1 C．1﹣e D．e7．（5分）f（x）与g（x）是定义在R上的两个可导函数，若f（x），g（x）满足f′（x）=g′（x），则f（x）与g（x）满足（）A．f（x）=g（x）B．f（x）=g（x）=0C．f（x）﹣g（x）为常数函数D．f（x）+g（x）为常数函数8．（5分）曲线y=x3﹣4x在点（1，﹣3）处的切线倾斜角为（）A．B．C．D．9．（5分）函数y=f（x）定义在区间（﹣3，7）上，其导函数如图所示，则函数y=f（x）在区间（﹣3，7）上极小值的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个10．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）11．（5分）如图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是（）A．①②B．①③C．③④D．①④12．（5分）已知函数f（x）=，给出下面三个结论：①函数f（x）在区间（﹣，0）上单调递增，在区间（0，）上单调递减；②函数f（x）没有最大值，而有最小值；③函数f（x）在区间（0，π）上不存在零点，也不存在极值点．其中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③二、填空题（每题5分，共4小题，共20分，将答案填在答题卡的横线上）13．（5分）已知函数f（x）=x2，则=．14．（5分）曲线y=cosx（0≤x≤π）与坐标轴所围成的图形的面积为﹒15．（5分）已知函数f（x）=2x3﹣3x，则在f（x）的切线中，斜率最小的一条切线方程为．16．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（2）=1，f′x）为f（x）的导函数．已知y=f′（x）的图象如图所示，若两个正数a，b满足f（2a+b）＞1，则的取值范围是．三、解答题（本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知曲线y=x2﹣1与y=1+x3在x=x0处的切线互相垂直，求x0的值．18．（12分）设函数f（x）=﹣x3+2x2﹣x（x∈R）．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）求函数在f（x）区间[0，2]上的最大值与最小值．19．（12分）如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，设小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？最大值为多少？20．（12分）已知函数f（x）=ax3+bx2+4x的极小值为﹣8，其导函数y=f'（x）的图象经过点（﹣2，0），如图所示．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数y=f（x）在区间[﹣3，2]上的最大值与最小值．21．（12分）已知f（x）=x﹣lnx，g（x）=，其中x∈（0，e]（e是自然常数）．（Ⅰ）求f（x）的单调性和极小值；（Ⅱ）求证：g（x）在（0，e]上单调递增；（Ⅲ）求证：f（x）＞g（x）+．22．（12分）设函数f（x）=xlnx（x＞0）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）设F（x）=ax2+f′（x）（a∈R），讨论函数F（x）的单调性；（3）斜率为k的直线与曲线y=f′（x）交于A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1＜x2）两点，求证：．2016-2017学年北京市昌平区临川学校高二（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共12小题，共60分，每题四个选项中只有一个选项是正确的，把选项填入答题卡的表格里）1．（5分）（2017春•昌平区校级月考）下列导数公式错误的是（）A．（sinx）'=﹣cosx B．C．D．（e x）'=e x【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、（sinx）'=cosx，故A错误；对于B、（lnx）′=，故B正确；对于C、（）′=x﹣1=（﹣1）×x﹣2=﹣，故C正确；对于D、（e x）'=e x，故D正确；故选：A．2．（5分）（2015•衡阳县校级一模）下列函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=sin2x B．y=xe x C．y=x3﹣x D．y=ln（1+x）﹣x【解答】解：∵f（x）=sin2x=（1﹣cos2x）在（0，+∞）有增有减，∴A不正确；∵f（x）=xe x的导函数′（x）=e x（x+1）＞0恒成立，所以它在（0，+∞）上增，∴B正确；∵y=x3﹣x，的导数y′=2x2﹣1在（0，+∞）上不恒大于0．，所以它在（0，+∞）先减后增，∴C不正确；∵y=ln（1+x）﹣x的导数y′=﹣1在（0，+∞）恒小于0，所以它为减函数，∴D不正确．故选B．3．（5分）（2013•池州一模）如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）=（）A．B．1 C．2 D．0【解答】解：f′（5）=﹣1将x=5代入切线方程得f（5）=﹣5+8=3，所以f（5）+f′（5）=3+（﹣1）=2，故选：C4．（5分）（2013春•西城区期末）设函数f（x）=ax3+bx2+cx+2的导函数为f′（x），如果f′（x）为偶函数，则一定有（）A．a≠0，c=0 B．a=0，c≠0 C．b=0 D．b=0，c=0【解答】解：函数f（x）=ax3+bx2+cx+2的导函数为f′（x）=3ax2+2bx+c，∵函数f′（x）=3ax2+2bx+c是定义在R上的偶函数，∴f'（x）=f'（﹣x），即3ax2+2bx+c=3ax2﹣2bx+c，∴2bx=0恒成立，b=0．故选C．5．（5分）（2013春•西城区期末）函数的图象在点（2，f（2））处的切线方程是（）A．x﹣4y=0 B．x﹣4y﹣2=0 C．x﹣2y﹣1=0 D．x+4y﹣4=0【解答】解：求导函数，可得∴，f（2）=∴函数的图象在点（2，f（2））处的切线方程是y﹣=（x﹣2），即x+4y﹣4=0故选D．6．（5分）（2013春•西城区期末）的值为（）A．e+1 B．e﹣1 C．1﹣e D．e【解答】解：由积分基本定理可得，=故选B7．（5分）（2014•莘县校级模拟）f（x）与g（x）是定义在R上的两个可导函数，若f（x），g（x）满足f′（x）=g′（x），则f（x）与g（x）满足（）A．f（x）=g（x）B．f（x）=g（x）=0C．f（x）﹣g（x）为常数函数D．f（x）+g（x）为常数函数【解答】解：由f′（x）=g′（x），得f′（x）﹣g′（x）=0，即[f（x）﹣g（x）]′=0，所以f（x）﹣g（x）=C（C为常数）．故选C．8．（5分）（2013秋•中山期末）曲线y=x3﹣4x在点（1，﹣3）处的切线倾斜角为（）A．B．C．D．【解答】解：．故选A．9．（5分）（2017春•昌平区校级月考）函数y=f（x）定义在区间（﹣3，7）上，其导函数如图所示，则函数y=f（x）在区间（﹣3，7）上极小值的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：函数在极小值点处，导数为0，且导函数左负右正，根据图象可知，O，C为极小值点，故选：A．10．（5分）（2016•江门模拟）已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）【解答】解：设g（x）=f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）=f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）=2，∴g（﹣1）=f（﹣1）+2﹣4=4﹣4=0，则∵函数g（x）单调递增，∴由g（x）＞g（﹣1）=0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B11．（5分）（2011•黄冈模拟）如图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是（）A．①②B．①③C．③④D．①④【解答】解：根据f′（x）＞0时，y=f（x）递增；f′（x）＜0时，y=f（x）递减可得．①②中函数的图象的增减趋势与导函数的正负区间是吻合的，可能正确；而③中导函数为负的区间内相应的函数不为递减，故错误，④中导函数为负的区间内相应的函数不为递减，故错误．故选C．12．（5分）（2017春•昌平区校级月考）已知函数f（x）=，给出下面三个结论：①函数f（x）在区间（﹣，0）上单调递增，在区间（0，）上单调递减；②函数f（x）没有最大值，而有最小值；③函数f（x）在区间（0，π）上不存在零点，也不存在极值点．其中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【解答】解：∵函数f（x）=表示（0，0）与（x，sinx）点连线的斜率，∴当x∈（﹣，0）时，函数f（x）单调递增，当x∈（0，）时，函数f（x）单调递减，故①正确；当x→0时，f（x）→1，而x≠0，故f（x）＜1，即函数没有最大值，当（0，0）与（x，sinx）点连线与y=sin的图象相切时，f（x）有最小值，故函数f（x）没有最大值，而有最小值，故②正确；当x∈（0，π）时，sinx≠0，故f（x）≠0，即函数f（x）在区间（0，π）上不存在零点，而x∈（0，π）时，函数f（x）单调递减，也不存在极值，故③正确；故正确的结论的序号是①②③，故选：D二、填空题（每题5分，共4小题，共20分，将答案填在答题卡的横线上）13．（5分）（2017春•昌平区校级月考）已知函数f（x）=x2，则= 0．【解答】解：∵f（x）=x2，∴f′（x）=2x，∴=f′（0）=0，故答案为：0．14．（5分）（2013•南昌二模）曲线y=cosx（0≤x≤π）与坐标轴所围成的图形的面积为3﹒【解答】解：S==3=3（sin﹣sin0）=3故答案为315．（5分）（2017春•昌平区校级月考）已知函数f（x）=2x3﹣3x，则在f（x）的切线中，斜率最小的一条切线方程为y=﹣3x．【解答】解：∵f（x）=2x3﹣3x，∴f′（x）=6x2﹣3≥﹣3，∴当x=0时，切线的斜率最小值且为﹣3，当x=0时，f（0）=0，∴切点为（0，0），∴切线的方程为y﹣0=﹣3（x﹣0），即y=﹣3x．故答案为y=﹣3x．16．（5分）（2017春•昌平区校级月考）已知定义在R上的函数f（x）满足f（2）=1，f′x）为f（x）的导函数．已知y=f′（x）的图象如图所示，若两个正数a，b 满足f（2a+b）＞1，则的取值范围是（﹣，1）．【解答】解：由图可知，当x＞0时，导函数f'（x）＜0，原函数单调递减，∵两正数a，b满足f（2a+b）＞1，且f（2）=1，∴2a+b＜2，a＞0，b＞0，画出可行域如图．k=的几何意义为点Q（2，1）与点P（x，y）连线的斜率，当P点在A（1，0）时，k最大，最大值为：；当P点在B（0，2）时，k最小，最小值为：=．k的取值范围是（﹣，1）．故答案为：（﹣，1）．三、解答题（本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）（2014秋•贞丰县期末）已知曲线y=x2﹣1与y=1+x3在x=x0处的切线互相垂直，求x0的值．【解答】解：由题意，∵曲线y=x2﹣1与y=1+x3在x=x0处的切线互相垂直，∴k1k2=﹣1，∴．18．（12分）（2014•北京校级模拟）设函数f（x）=﹣x3+2x2﹣x（x∈R）．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）求函数在f（x）区间[0，2]上的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=﹣x3+2x2﹣x，所以f'（x）=﹣3x2+4x﹣1，且f（2）=﹣2．…（2分）所以f'（2）=﹣5．…（3分）所以曲线f（x）在点（2，﹣2）处的切线方程是y+2=﹣5（x﹣2），整理得5x+y﹣8=0．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知f'（x）=﹣3x2+4x﹣1=﹣（3x﹣1）（x﹣1）．令f'（x）=0，解得x=或x=1．…（6分）当x∈[0，2]时，f'（x），f（x）变化情况如下表：因此，函数f（x），x∈[0，2]的最大值为0，最小值为﹣2．…（8分）19．（12分）（2014春•滦南县期末）如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，设小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？最大值为多少？【解答】解：设小正方形的边长为xcm，则x∈（0，）；盒子容积为：y=（8﹣2x）•（5﹣2x）•x=4x3﹣26x2+40x，对y求导，得y′=12x2﹣52x+40，令y′=0，得12x2﹣52x+40=0，解得：x=1，x=（舍去），所以，当0＜x＜1时，y′＞0，函数y单调递增；当1＜x＜时，y′＜0，函数y 单调递减；所以，当x=1时，函数y取得最大值18；所以，小正方形的边长为1cm，盒子容积最大，最大值为18cm3．20．（12分）（2017春•昌平区校级月考）已知函数f（x）=ax3+bx2+4x的极小值为﹣8，其导函数y=f'（x）的图象经过点（﹣2，0），如图所示．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数y=f（x）在区间[﹣3，2]上的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）根据题意可知函数在x=﹣2处取极小值8，∵f（x）=ax3+bx2+4x，∴f′（x）=3ax2+2bx+4∴，解得：a=﹣1，b=﹣2∴f（x）=﹣x3﹣2x2+4x．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=﹣3x2﹣4x+4，由f′（x）=0，得，x2=﹣2，∵f（﹣3）=﹣（﹣3）3﹣2（﹣3）2+4（﹣3）=﹣3，f（﹣2）=﹣（﹣2）3﹣2（﹣2）2+4（﹣2）=﹣8，f（）=﹣（）3﹣2（）2+4×=﹣，f（2）=﹣23﹣2•22+4•2=8．∴函数y=f（x）在区间[﹣3，2]上的最大值为8，最小值为﹣8．21．（12分）（2014•北京校级模拟）已知f（x）=x﹣lnx，g（x）=，其中x∈（0，e]（e是自然常数）．（Ⅰ）求f（x）的单调性和极小值；（Ⅱ）求证：g（x）在（0，e]上单调递增；（Ⅲ）求证：f（x）＞g（x）+．【解答】（Ⅰ）解：∵f（x）=x﹣lnx，∴f′（x）=（x＞0），∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减；当1＜x＜e时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增∴f（x）的极小值为f（1）=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）证明：求导数可得∴当0＜x＜e时，g'（x）＞0，∴g（x）在（0，e]上单调递增﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）（Ⅲ）证明：∵f（x）的极小值为1，即f（x）在（0，e]上的最小值为1，∴f （x）＞0，f（x）min=1∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∴f（x）＞g（x）+．22．（12分）（2014•漳州三模）设函数f（x）=xlnx（x＞0）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）设F（x）=ax2+f′（x）（a∈R），讨论函数F（x）的单调性；（3）斜率为k的直线与曲线y=f′（x）交于A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1＜x2）两点，求证：．【解答】（1）解：f′（x）=lnx+1（x＞0），令f′（x）=0，得．（2分）∵当时，f′（x）＜0；当时，f′（x）＞0，（3分）∴当时，．（4分）（2）F（x）=ax2+lnx+1（x＞0），．（5分）①当a≥0时，恒有F'（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上是增函数；（6分）②当a＜0时，令F′（x）＞0，得2ax2+1＞0，解得；（7分）令F′（x）＜0，得2ax2+1＜0，解得．（8分）综上，当a≥0时，F（x）在（0，+∞）上是增函数；当a＜0时，F（x）在上单调递增，在上单调递减．（9分）（3）证：．要证，即证，等价于证，令，则只要证，由t＞1知lnt＞0，故等价于证lnt＜t﹣1＜tlnt（t＞1）（*）．①设g（t）=t﹣1﹣lnt（t≥1），则，故g（t）在[1，+∞）上是增函数，∴当t＞1时，g（t）=t﹣1﹣lnt＞g（1）=0，即t﹣1＞lnt（t＞1）．②设h（t）=tlnt﹣（t﹣1）（t≥1），则h′（t）=lnt≥0（t≥1），故h（t）在[1，+∞）上是增函数，∴当t＞1时，h（t）=tlnt﹣（t﹣1）＞h（1）=0，即t﹣1＜tlnt（t＞1）．由①②知（*）成立，得证．（14分）参与本试卷答题和审题的老师有：danbo7801；ywg2058；whgcn；minqi5；刘长柏；吕静；wsj1012；yhx01248；刘老师；maths；301137；豫汝王世崇；lcb001；742048；zlzhan（排名不分先后）胡雯2017年5月14日。