2021年高二3月月考数学（理科含答案
一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．直线与函数的图像相切于点，且，为坐标原点，为图像的极大值点，与轴交于点，过切点作轴的垂线，垂足为，则=( )
A．B．C．D． 2
【答案】B
2．过点（0，1）且与曲线在点（3，2）处的切线垂直的直线的方程为( ) A．B．C．D．
【答案】A
3．由曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝t2，t∈(0,1)所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为( )
A．1
4 B．
1
3
C．
1
2
D．
2
3
【答案】A
4．曲线在处的切线方程为( ) A．B．
C．D．
【答案】A
5．过曲线（）上横坐标为1的点的切线方程为( )
A．B．C．D．
【答案】B
6．设，则( )
A．B．C．D．
【答案】D
7．已知函数在R上可导，且，则函数的解析式为( )
A．B．C．D．
【答案】B
8．设函数，其中为取整记号，如，，．又函数，在区间上零点的个数记为，与图像交点的个数记为，则的值是( )
A．B．C．D．
【答案】A
9．曲线在点 (3,27) 处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积是( ) A．45 B．35 C． 54 D． 53
【答案】C
10．若，则的导数是( )
A．B．
C．D．
【答案】A
11．曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为( )
A．2 B．C．D．
【答案】A
12．一个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是( )
A．5米/秒B．米/秒C．7米/秒D．米/秒
【答案】A
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．____________．
【答案】
14．若点是曲线上一点，且在点处的切线与直线平行，则点的横坐标为____________
【答案】1
15．曲线在点处的切线的倾斜角为 。

【答案】
16．已知函数，若在区间内任取两个不同实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，
销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值（单位：元）的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件。

(1）将一个星期的商品销售利润表示成的函数；
(2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大。

【答案】（1）设商品降价元，则多卖的商品数为，若记商品在一个星期的获利为， 则依题意有22()(309)(432)(21)(432)f x x kx x kx =--+=-+，
又由已知条件，，于是有， 所以32()61264329072[030]f x x x x x =-+-+∈，，。

(2）根据（1），我们有2()1825243218(2)(12)f x x x x x '=-+-=---。

故时，达到极大值．因为，，所以定价为元能使一个星期的商品销售利润最大。

18．已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)若对，，都有，求的取值范围。

【答案】 (1)，令得
当时，在和上递增，在上递减；
当时，在和上递减，在上递增
(2) 当时，；所以不可能对，都有；
当时有（1）知在上的最大值为，所以对，都有即，故对，都有时，的取值范围为。

19．某化工企业生产某种产品，生产每件产品的成本为3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元(7≤x≤10)时，一年的产量为(11 – x)2万件；
若该企业所生产的产品能全部销售，则称该企业正常生产；但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数a (1≤a≤3)．
(Ⅰ）求该企业正常生产一年的利润L (x)与出厂价x的函数关系式；
(Ⅱ）当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润．【答案】（Ⅰ）依题意，L (x) = (x – 3 ) (11 – x)2– a (11 – x)2
= (x – 3 – a) (11 – x)2，x∈[7，10]．
(Ⅱ）因为L′(x) = (11 – x)2– 2 (x – 3 – a) (11 – x) = (11 – x ) (11 – x – 2x + 6 + 2a)
= (11 – x )(17 + 2a – 3x)．
由L′(x) = 0，得x = 11[7，10]或x = ．
∵1≤a≤3，∴．
在x = 的两侧L′(x)由正变负，
故①当，即1≤a≤2时，L′(x)在[7，10]上恒为负，∴L (x)在[7，10]上为减函数．
∴[L (x)]
= L (7) = 16 (4 – a)．
max
= L
②当7，即2<a≤3时， [L (x)]
max
即1≤a≤2时，则当每件产品出厂价为7元时，年利润最大，为16 (4 – a)
万元．当2<a≤3时，则每件产品出厂价为元时，年利润最大，为(8 – a)3万元．20．已知.
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数在上的最小值；
(3)对一切的,恒成立,求实数的取值范围．
【答案】
(2) (ⅰ)0<t<t+2<，t无解
(ⅱ)0<t<<t+2，即0<t<时，
(ⅲ)，即时，，
(2)由题意: 即
可得
设,
则
令,得(舍)
当时,;当时,
当时,取得最大值, =-2
.
的取值范围是.
21．某商店经销一种奥运会纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件
产品需向税务部门上交元（为常数，2≤a≤5 ）的税收。

设每件产品的售价为x元(35≤x≤41),根据市场调查,日销售量与(e为自然对数的底数)成反比例。

已知每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件。

(1)求该商店的日利润L（x）元与每件产品的日售价x元的函数关系式；
(2)当每件产品的日售价为多少元时，该商品的日利润L（x）最大，并求出L （x）的最大值。

【答案】（1
(2）
①当2≤a≤4时，33≤a+31≤35，当35 <x<41时，
∴当x=35时，L（x）取最大值为
②当4＜a≤5时，35≤a+31≤36，
易知当x=a+31时，L（x）取最大值为
综合上得
22．已知函数在处取得极值，记点.
⑴求的值；
⑵证明：线段与曲线存在异于、的公共点；
【答案】解法一：∵，依题意，
∴，（2分）
由，得
令，的单调增区间为和，
，单调减区间为
所以函数在处取得极值。

故
所以直线的方程为
由得
令，易得，
而的图像在内是一条连续不断的曲线，故在内存在零点，这表明线段与曲线有异于的公共点。

解法二：同解法一，可得直线的方程为
由得
解得
所以线段与曲线有异于的公共点。

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