动能定理及其应用窦乐江【考点梳理】 一、动能1．定义：物体由于运动而具有的能，叫动能． 2．表达式：E k ＝12m v 2，国际单位为焦耳(符号为J)． 二、动能定理1．表述：力在一个过程中对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化． 2．数学表达式：W ＝E k2－E k1.【名师面对面】 实际应用动能定理更为细致的表述表述一：如果质点的合外力为恒力，则合外力所做的功等于质点动能的增量； 表达式∑F·lcos α＝12mv 22－12mv 21.表述二：如果质点的合外力为非恒力，则外力所做功的代数和等于质点动能的增量．表达式W 1＋W 2＋…＋W n ＝12mv 22－12mv 21.二、方法技巧要用好1．应用动能定理解题的基本步骤 2．应用动能定理解题时需注意的问题(1)当物体系统内的相互作用是杆、绳间的作用力，或是静摩擦力，或是刚性物体之间相互挤压而产生的力时，作用力与反作用力的总功等于零。
因此列动能定理方程时只考虑物体系统所受的外力做功即可。
(2)当物体系统内的相互作用力是弹簧、橡皮条的作用力，或是滑动摩擦力时，作用力与反作用力的总功不等于零。
列动能定理方程时不但要考虑物体系统所受的合外力做功，还要考虑物体间的相互作用力做功。
(3)当物体系统内各个物体的速度不相同时，要注意根据各个物体的速度分别表述不同物体的动能。
(4)应用动能定理时，注意研究对象和研究过程的对应性。
【典题例证】考向一 牛顿运动定律与动能定理应用技巧【例1】(新情境)质量为m 的小球被系在轻绳的一端，在竖直平面内做半径为R 的圆周运动，运动过程中小球受到空气阻力的作用．设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为7mg ，此后小球继续运动，经过半个周期后恰能通过最高点．则在此过程中，小球克服空气阻力做的功为( )A.14mgRB.13mgRC.12mgR D ．mgR【教你一招】【对应训练】(2013·江苏无锡)如图所示，光滑水平面上，一小球在穿过圆孔的绳子的拉力作用下沿一圆周匀速运动，当绳的拉为为F 时，圆周半径为R ，当绳的拉力增大到8F 时，小球恰可沿半径为R/2的圆周匀速运动．在上述增大拉力的过程中，求绳的拉力对球做的功．考向二 多过程问题中动能定理的应用【例2】某兴趣小组设计了如下图所示的玩具轨道，其中“2008”四个等高数字用内壁光滑的薄壁细圆管弯成，固定在竖直平面内(所有数字均由圆或半圆组成，圆半径比细管的内径大得多)，底端与水平地面相切．弹射装置将一个小物体(可视为质点)以va ＝5 m/s 的水平初速度由a 点弹出，从b 点进入轨道，依次经过“8002”后从p 点水平抛出．小物体与地面ab 段间的动摩擦因数μ＝0.3，不计其他机械能损失．已知ab 段长L ＝1.5 m ，数字“0”的半径R ＝0.2 m ，小物体质量m ＝0.01 kg ，g ＝10 m/s 2.求：(1)小物体从p 点抛出后的水平射程．(2)小物体经过数字“0”的最高点时管道对小物体作用力的大小和方向．【对应训练】如图所示，水平路面CD 的右侧有一长L1=2 m 的板M ，一物块放在板M 的最右端，并随板一起向左侧固定的平台运动，板M 的上表面与平台等高。
平台的上表面AB 长s=3 m ，光滑半圆轨道AFE 竖直固定在平台上，圆轨道半径R=0.4 m ，最低点与平台AB 相切于A 点。
当板M 的左端距离平台L=2 m 时，板与物块向左运动的速度v 0=8 m/s 。
当板与平台的竖直墙壁碰撞后，板立即停止运动，物块在板上滑动，并滑上平台。
已知板与路面的动摩擦因数μ1=0.05，物块与板的上表面及轨道AB 的动摩擦因数μ2=0.1，物块质量m=1 kg,取g=10 m/s 2。
(1)求物块进入圆轨道时对轨道上的A 点的压力；(2)判断物块能否到达圆轨道的最高点E 。
如果能，求物块离开E 点后在平台上的落点到A 点的距离；如果不能，则说明理由。
考向三用规范数学方法解决动能定理的有关问题【例3】倾斜雪道的长为25 m，顶端高为15 m，下端经过一小段圆弧过渡后与很长的水平雪道相接，如下图所示．一滑雪运动员在倾斜雪道的顶端以水平速度v＝8 m/s飞出，在落到倾斜雪道上时，运动员靠改变姿势进行缓冲使自己只保留沿斜面的分速度而不弹起．除缓冲外运动员可视为质点，过渡轨道光滑，其长度可忽略．设滑雪板与雪道的动摩擦因数μ＝0.2，求运动员在水平雪道上滑行的距离(取g＝10 m/s2)．【对应训练】如图所示，在粗糙水平台阶上静止放置一质量m＝0.5 kg的小物块，它与水平台阶表面的动摩擦因数μ＝0.5，且与台阶边缘O点的距离s＝5 m．在台阶右侧固定了1/4个椭圆弧挡板，今以O点为原点建立平面直角坐标系，挡板的方程满足x2＋4y2＝325y.现用F＝5 N的水平恒力拉动小物块，一段时间后撤去拉力，小物块最终水平抛出并击中挡板．(1)若小物块恰能击中挡板的右端P 点，则其离开O 点时的速度为多大？ (2)为使小物块击中挡板，拉力F 最多作用多长距离？(3)改变拉力F 作用距离，使小物块击中挡板不同位置．试利用平抛运动规律分析，证明：击中挡板的小物块动能均为8 J.考向四 对动能定理与图象结合的问题的考查【例4】如图甲所示，一根轻质弹簧左端固定在竖直墙面上，右端放一个可视为质点的小物块，小物块的质量为m ＝1.0 kg ，当弹簧处于原长时，小物块静止于O 点．现对小物块施加一个外力F ，使它缓慢移动，将弹簧压缩至A 点，压缩量为x ＝0.1 m ，在这一过程中，所用外力F 与压缩量的关系如图乙所示．然后撤去F 释放小物块，让小物块沿桌面运动，已知O 点至桌边B 点的距离为L ＝2x ，水平桌面的高为h ＝5.0 m ，计算时，可用滑动摩擦力近似等于最大静摩擦力．(g 取10 m/s 2)求：(1)在压缩弹簧的过程中，弹簧存贮的最大弹性势能； (2)小物块到达桌边B 点时速度的大小； (3)小物块落地点与桌边B 的水平距离．【对应训练】总质量为80 kg的跳伞运动员从离地500 m的直升机上跳下，经过2 s拉开绳索开启降落伞．如图所示是跳伞过程中的v－t图象，试根据图象(g取10 m/s2)(1)求0～2 s内阻力做的功；(2)估算14 s内运动员下落的高度及克服阻力做的功；(3)估算运动员从飞机上跳下到着地的总时间．【模板印证】1．(2013·江苏)水平面上，一白球与一静止的灰球碰撞，两球质量相等．碰撞过程的频闪照片如图所示(原题中用直尺测量，碰撞前相邻两位置之间的长度约为 1.4 cm，碰撞后相邻两位置之间的长度约为0.8 cm)，据此可推断，碰撞过程中系统损失的动能约占碰撞前动能的( )A．30%B．50%C．70%D．90%2．如图所示，将质量为2m 的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m 的环(图中未画出)，环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑的轻小定滑轮与直杆的距离为d ，杆上的A 点与定滑轮等高，杆上B 点在A 点下方距离为d 处．现将环从A 处由静止释放，不计一切摩擦阻力，下列说法正确的是( )A ．环到达B 处时，重物上升的高度h ＝d2B ．环到达B 处时，环与重物的速度大小相等C ．环从A 到B ，环减少的机械能等于重物增加的机械能D ．环能下降的最大高度为43d3．如图所示，在E=103 V/m 的竖直匀强电场中，有一光滑的半圆形绝缘轨道QPN 与一水平绝缘轨道MN 连接，半圆形轨道平面与电场线平行，P 为QN 圆弧的中点，其半径R=40 cm ，一带正电荷q=10-4 C 的小滑块质量m=10 g ，与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.15 ，位于N 点右侧1.5 m 处，取g=10 m/s 2，求：(1)要使小滑块恰能运动到半圆轨道的最高点Q ，则小滑块应以多大的初速度v 0向左运动？ (2)这样运动的滑块通过P 点时对轨道的压力是多大？4．如图所示，倾角为45°的粗糙斜面AB 底端与半径R ＝0.4 m 的光滑半圆轨道BC 平滑相接，O 为轨道圆心，BC 为圆轨道直径且处于竖直平面内，A 、C 两点等高．质量m ＝1 kg 的滑块从A 点由静止开始下滑，恰能滑到与O 等高的D 点，g 取10 m/s 2.(1)求滑块与斜面间的动摩擦因数μ；(2)若使滑块能到达C 点，求滑块至少从离地多高处由静止开始下滑；(3)若滑块离开C点后恰能垂直打在斜面上，求滑块经过C点时对轨道的压力．5．如图甲，在水平地面上固定一倾角为θ的光滑绝缘斜面，斜面处于电场强度大小为E、方向沿斜面向下的匀强电场中．一劲度系数为k的绝缘轻质弹簧的一端固定在斜面底端，整根弹簧处于自然状态．一质量为m、带电荷量为q(q>0)的滑块从距离弹簧上端为s处静止释放，滑块在运动过程中电荷量保持不变，设滑块与弹簧接触过程中没有机械能损失，弹簧始终处在弹性限度内，重力加速度大小为g.(1)求滑块从静止释放到与弹簧上端接触瞬间所经历的时间t1；(2)若滑块在沿斜面向下运动的整个过程中最大速度大小为vm，求滑块从静止释放到速度大小为vm过程中弹簧的弹力所做的功W；(3)从滑块由静止释放瞬间开始计时，请在乙图中画出滑块在沿斜面向下运动的整个过程中速度与时间关系v－t图象．图中横坐标轴上的t1、t2及t3分别表示滑块第一次与弹簧上端接触、第一次速度达到最大值及第一次速度减为零的时刻，纵坐标轴上的v1为滑块在t1时刻的速度大小，vm是题中所指的物理量．(本小题不要求写出计算过程)6．总质量为M的列车，沿水平直线轨道匀速前进，其末节车厢质量为m，中途脱节，司机发觉时，机车已行驶的距度为l，于是立即关闭油门，除去牵引力，设运动的阻力与重力成正比，机车的牵引力是恒定的，求列车完全停下时，列车两部分间的距离是多少？7．如图所示，AB与CD为两个对称斜面，其上部足够长，下部分别与一个光滑的圆弧面的两端相切，圆弧圆心角为120°，半径R为2.0 m，一个物体在离弧底E高度为h＝3.0 m处，以初速度4.0 m/s沿斜面运动．若物体与两斜面的动摩擦因数为0.02，则物体在两斜面上(不包括圆弧部分)，一共能走多长路程？(g取10 m/s2)8．一辆汽车的质量为10×103 kg，阻力恒为车重的0.1倍，汽车从静止开始以2×102 kW 的恒定功率沿平直的公路运动15 s后达到最大速度．取g＝10 m/s2，求汽车在这15 s内发生的位移．9．如图所示，用跨过光滑定滑轮的缆绳将海面上一艘失去动力的小船沿直线拖向岸边．已知拖动缆绳的电动机功率恒为P，小船的质量为m，小船受到的阻力大小恒为f，经过A点时的速度大小为v0，小船从A点沿直线加速运动到B点经历时间为t1，A、B两点间距离为d，缆绳质量忽略不计．求：(1)小船从A点运动到B点的全过程克服阻力做的功W f；(2)小船经过B点时的速度大小v1；(3)小船经过B点时的加速度大小a.参考答案【典题例证】考向一牛顿运动定律与动能定理应用技巧【例1】如右图所示，小球在最低点A时，竖直方向受绳的拉力F和重力mg作用，小球的速度为vA ，向心加速度为an，由牛顿第二定律，得F－mg＝man，即7mg－mg＝m v2AR.因此，EkA＝12mv2A＝3mgR.【教你一招】教科书中动能定理虽然是通过牛顿定律通过特例推导出来的，但牛顿运动定律无法取代动能定理运动的优越性，特别是在解决变力做功的问题．本题为什么在最低点和最高点这两个位置(时刻)要用牛顿运动定律？为什么由最低点到最高点的运动过程要用动能定理？通过解题，要注意加深对牛顿运动定律、动能定理的理解，以便于能灵活运用并选择适当的规律列式．【对应训练】【解析】当绳子拉力为F时，有F＝m v2 1R①同理有8F＝2mv22/R②由①得mv21＝FR由②得mv22＝4FR绳的拉力对球做的功W＝12mv22－12mv21＝12×3FR＝1.5FR考向二多过程动能定理的应用【例2】【答案】(1)0.8 m (2)0.3 N，竖直向下【解析】(1)设小物体运动到p点时速度大小为v，对小物体由a运动到p整个过程应用动能定理，得－μmgL－2mgR＝12mv2－12mv2a，小物体自p点做平抛运动，设运动时间为t，水平射程为s，则2R＝12gt2，s＝vt，联立以上三式代入数据，解得s＝0.8 m(2)设在数字“0”的最高点管道对小物体的作用力为F，取竖直向下为正方向，F＋mg＝m v2 R，结合－μmgL－2mgR＝12mv2－12mv2a，代入数据解得F＝0.3 N，方向竖直向下．【教你一招】1.应用动能定理的三点注意(1)如果在某个运动过程中包含有几个不同运动性质的阶段(如加速、减速阶段)，可以分段应用动能定理，也可以对全程应用动能定理，一般对全程列式更简单．(2)因为动能定理中功和动能均与参考系的选取有关，所以动能定理也与参考系的选取有关．在中学物理中一般取地面为参考系．(3)动能定理通常适用于单个物体或可看成单个物体的系统．如果涉及多物体组成的系统，因为要考虑内力做的功，所以要十分慎重．在中学阶段可以先分别对系统内每一个物体应用动能定理，然后再联立求解．2.模型特征：优先考虑应用动能定理的典型问题 (1)不涉及加速度、时间的问题．(2)有多个物理过程且不需要研究整个过程中的中间状态的问题． (3)变力做功的问题．(4)含有F 、l 、m 、v 、W 、E k 等物理量的力学问题． 【对应训练】(1)设物块随板运动撞击竖直墙壁BC 时的速度为v 1由动能定理得：20211)(21)(21)(v m M v M m gL M m +-+=+μ (3分) 设物块到A 点时速度为v 2由动能定理得： 212222121)(mv mv L s mg -=+-μ (2分)由牛顿第二定律得：F N -mg=Rvm 22(2分)解得：F N =140 N,由牛顿第三定律知，物块对轨道A 点的压力大小为140 N,方向竖直向下考向三 用规范数学方法解决动能定理的有关问题 【例3】【解析】 如图所示建立坐标系，斜面的方程为y ＝xtan θ＝34x ①运动员飞出后做平抛运动 x ＝v 0t ② y ＝12gt 2③ 联立①②③式，得飞行时间 t ＝1.2 s落点的x 坐标x 1＝v 0t ＝9.6 m 落点离斜面顶端的距离s 1＝xcos θ＝12 m 落点距地面的高度h 1＝(L －s 1)sin θ＝7.8 m 接触斜面前的x 分速度v x ＝8 m/s y 分速度v y ＝gt ＝12 m/s 沿斜面的速度大小为v B ＝v x cos θ＋v y sin θ＝13.6 m/s设运动员在水平雪道上运动的距离为s 2，由功能关系，得 mgh ＋12mv 2B ＝μmgcos θ(L －s 1)＋μmgs 2解得s 2＝74.8 m【教你一招】解决此题的关键是如何求解人落到斜面上继续下滑时对于沿斜面方向的速度大小，应该把合速度等效成水平方向的速度与竖直方向的速度，再把这两个方向的速度沿着斜面与垂直于斜面的方向分解得到沿斜面方向的合速度即为所求，而垂直于斜面的速度已经损失掉了。